与えられた式 $3(x+y)^3 - 2(x+y)^2 - (x+y)$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $3(x+y)^3 - 2(x+y)^2 - (x+y)$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y)$ を共通因数として括り出します。

$3(x+y)^3 - 2(x+y)^2 - (x+y) = (x+y)[3(x+y)^2 - 2(x+y) - 1]$

次に、括弧の中の式 $3(x+y)^2 - 2(x+y) - 1$ を展開して整理します。

$3(x+y)^2 - 2(x+y) - 1 = 3(x^2 + 2xy + y^2) - 2x - 2y - 1$

$= 3x^2 + 6xy + 3y^2 - 2x - 2y - 1$

したがって、全体の式は次のようになります。

$(x+y)(3x^2 + 6xy + 3y^2 - 2x - 2y - 1)$

式 $(x+y)[3(x+y)^2 - 2(x+y) - 1]$ の括弧内の二次式 $3(x+y)^2 - 2(x+y) - 1$ を因数分解できるか検討します。

$z = x+y$ とおくと、$3z^2 - 2z - 1$ となります。

これは $(3z + 1)(z - 1)$ と因数分解できます。

したがって、$3(x+y)^2 - 2(x+y) - 1 = (3(x+y) + 1)((x+y) - 1) = (3x + 3y + 1)(x + y - 1)$

よって、元の式は次のように因数分解できます。

$(x+y)(3x + 3y + 1)(x + y - 1)$

3. 最終的な答え

$(x+y)(3x+3y+1)(x+y-1)$