(1) 複素数平面上で、等式 $|3z - 4i| = 2|z - 3i|$ を満たす点 $z$ の全体がどのような図形を表すか答える。 (2) 複素数 $z$ が(1)の等式を満たすとき、$|z + \frac{1}{2} + 2i|$ の最大値と最小値を求め、そのときの $z$ の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

(1) 複素数平面上で、等式 $|3z - 4i| = 2|z - 3i|$ を満たす点 $z$ の全体がどのような図形を表すか答える。

(2) 複素数 $z$ が(1)の等式を満たすとき、$|z + \frac{1}{2} + 2i|$ の最大値と最小値を求め、そのときの $z$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1)

$|3z - 4i| = 2|z - 3i|$ を変形していく。

$|3(z - \frac{4}{3}i)| = 2|z - 3i|$

$3|z - \frac{4}{3}i| = 2|z - 3i|$

両辺を2乗する。

$9|z - \frac{4}{3}i|^2 = 4|z - 3i|^2$

$z = x + yi$ とおく。

$9|x + yi - \frac{4}{3}i|^2 = 4|x + yi - 3i|^2$

$9|x + (y-\frac{4}{3})i|^2 = 4|x + (y-3)i|^2$

$9(x^2 + (y - \frac{4}{3})^2) = 4(x^2 + (y-3)^2)$

$9x^2 + 9(y^2 - \frac{8}{3}y + \frac{16}{9}) = 4x^2 + 4(y^2 - 6y + 9)$

$9x^2 + 9y^2 - 24y + 16 = 4x^2 + 4y^2 - 24y + 36$

$5x^2 + 5y^2 - 20 = 0$

$x^2 + y^2 = 4$

これは原点を中心とする半径2の円を表す。

(2)

(1)より、$|z| = 2$ である。

$|z + \frac{1}{2} + 2i|$ の最大値と最小値を求める。

$|z + \frac{1}{2} + 2i|$ は、複素数平面上で、$z$ と $-\frac{1}{2} - 2i$ との距離を表す。

$|z| = 2$ は原点を中心とする半径2の円である。

$-\frac{1}{2} - 2i$ と原点との距離は $\sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 4} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$

したがって、最大値は $2 + \frac{\sqrt{17}}{2} = \frac{4 + \sqrt{17}}{2}$

最小値は $2 - \frac{\sqrt{17}}{2} = \frac{4 - \sqrt{17}}{2}$

最大となるとき、$z = 2 \cdot \frac{-\frac{1}{2} - 2i}{\frac{\sqrt{17}}{2}} = 2 \cdot \frac{-1 - 4i}{\sqrt{17}} = \frac{-2 - 8i}{\sqrt{17}} = \frac{-2\sqrt{17} - 8\sqrt{17}i}{17}$

最小となるとき、$z = -2 \cdot \frac{-\frac{1}{2} - 2i}{\frac{\sqrt{17}}{2}} = -2 \cdot \frac{-1 - 4i}{\sqrt{17}} = \frac{2 + 8i}{\sqrt{17}} = \frac{2\sqrt{17} + 8\sqrt{17}i}{17}$

3. 最終的な答え

(1) 原点を中心とする半径2の円

(2) 最大値: $\frac{4 + \sqrt{17}}{2}$, そのとき $z = \frac{-2\sqrt{17} - 8\sqrt{17}i}{17}$

最小値: $\frac{4 - \sqrt{17}}{2}$, そのとき $z = \frac{2\sqrt{17} + 8\sqrt{17}i}{17}$