与えられた6つの2次不等式を解く問題です。 (1) $x^2 + x - 1 > 0$ (2) $3x^2 - 3x - 1 \ge 0$ (3) $x^2 - 2x - 1 < 0$ (4) $x^2 + 2x + 1 \ge 0$ (5) $9x^2 + 6x + 1 > 0$ (6) $x^2 + 4x + 6 \le 0$

1. 問題の内容

与えられた6つの2次不等式を解く問題です。

(1) $x^2 + x - 1 > 0$

(2) $3x^2 - 3x - 1 \ge 0$

(3) $x^2 - 2x - 1 < 0$

(4) $x^2 + 2x + 1 \ge 0$

(5) $9x^2 + 6x + 1 > 0$

(6) $x^2 + 4x + 6 \le 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + x - 1 > 0$

解の公式を用いて、$x^2 + x - 1 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、不等式の解は $x < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ または $x > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$。

(2) $3x^2 - 3x - 1 \ge 0$

解の公式を用いて、$3x^2 - 3x - 1 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$

したがって、不等式の解は $x \le \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$ または $x \ge \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$。

(3) $x^2 - 2x - 1 < 0$

解の公式を用いて、$x^2 - 2x - 1 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、不等式の解は $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$。

(4) $x^2 + 2x + 1 \ge 0$

$(x + 1)^2 \ge 0$

$(x + 1)^2 = 0$ となるのは $x = -1$ のときですが、$(x + 1)^2 \ge 0$ は常に成り立つため、すべての実数 $x$ が解です。

(5) $9x^2 + 6x + 1 > 0$

$(3x + 1)^2 > 0$

$(3x + 1)^2 = 0$ となるのは $x = -\frac{1}{3}$ のときですが、$(3x + 1)^2 > 0$ であるためには $x \ne -\frac{1}{3}$ である必要があります。

したがって、解は $x < -\frac{1}{3}$ または $x > -\frac{1}{3}$。

(6) $x^2 + 4x + 6 \le 0$

判別式 $D = 4^2 - 4(1)(6) = 16 - 24 = -8 < 0$ なので、$x^2 + 4x + 6 = 0$ は実数解を持ちません。また、$x^2 + 4x + 6 = (x + 2)^2 + 2 > 0$ なので、$x^2 + 4x + 6 \le 0$ を満たす実数 $x$ は存在しません。

したがって、解なし。

3. 最終的な答え

(1) $x < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ または $x > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

(2) $x \le \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$ または $x \ge \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$

(3) $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$

(4) すべての実数

(5) $x < -\frac{1}{3}$ または $x > -\frac{1}{3}$

(6) 解なし