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与えられた2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形（平方完成）します。対象となる関数は以下の3つです。 (5) $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 8$ (6) $y = -\frac{1}{3}x^2 - x - 4$ (7) $y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}$

代数学二次関数平方完成
2025/6/9
はい、承知しました。問題文に書かれている2次関数を平方完成させる問題ですね。以下の手順で解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数を y=a(x−p)2+qy = a(x-p)^2 + q の形に変形（平方完成）します。対象となる関数は以下の3つです。
(5) y=12x2−32x−8y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 8
(6) y=−13x2−x−4y = -\frac{1}{3}x^2 - x - 4
(7) y=−14x2+13x−12y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}

2. 解き方の手順

(5) y=12x2−32x−8y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 8 の場合:
まず、x2x^2 の係数でくくります。
y=12(x2−3x)−8y = \frac{1}{2}(x^2 - 3x) - 8
次に、xx の係数の半分を2乗したものを足して引きます。
y=12(x2−3x+(32)2−(32)2)−8y = \frac{1}{2}(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) - 8
y=12((x−32)2−94)−8y = \frac{1}{2}((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 8
括弧を外し、定数項をまとめます。
y=12(x−32)2−98−8y = \frac{1}{2}(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{8} - 8
y=12(x−32)2−98−648y = \frac{1}{2}(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{8} - \frac{64}{8}
y=12(x−32)2−738y = \frac{1}{2}(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{73}{8}
(6) y=−13x2−x−4y = -\frac{1}{3}x^2 - x - 4 の場合:
まず、x2x^2 の係数でくくります。
y=−13(x2+3x)−4y = -\frac{1}{3}(x^2 + 3x) - 4
次に、xx の係数の半分を2乗したものを足して引きます。
y=−13(x2+3x+(32)2−(32)2)−4y = -\frac{1}{3}(x^2 + 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) - 4
y=−13((x+32)2−94)−4y = -\frac{1}{3}((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 4
括弧を外し、定数項をまとめます。
y=−13(x+32)2+34−4y = -\frac{1}{3}(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} - 4
y=−13(x+32)2+34−164y = -\frac{1}{3}(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} - \frac{16}{4}
y=−13(x+32)2−134y = -\frac{1}{3}(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}
(7) y=−14x2+13x−12y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{2} の場合:
まず、x2x^2 の係数でくくります。
y=−14(x2−43x)−12y = -\frac{1}{4}(x^2 - \frac{4}{3}x) - \frac{1}{2}
次に、xx の係数の半分を2乗したものを足して引きます。
y=−14(x2−43x+(23)2−(23)2)−12y = -\frac{1}{4}(x^2 - \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2) - \frac{1}{2}
y=−14((x−23)2−49)−12y = -\frac{1}{4}((x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) - \frac{1}{2}
括弧を外し、定数項をまとめます。
y=−14(x−23)2+19−12y = -\frac{1}{4}(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2}
y=−14(x−23)2+218−918y = -\frac{1}{4}(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{2}{18} - \frac{9}{18}
y=−14(x−23)2−718y = -\frac{1}{4}(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{7}{18}

3. 最終的な答え

(5) y=12(x−32)2−738y = \frac{1}{2}(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{73}{8}
(6) y=−13(x+32)2−134y = -\frac{1}{3}(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}
(7) y=−14(x−23)2−718y = -\frac{1}{4}(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{7}{18}

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