与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。今回は、(3) $x^2+3xy+2y^2-2x-5y-3$と(4) $3x^2-xy-2y^2-2x-3y-1$を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。今回は、(3) $x^2+3xy+2y^2-2x-5y-3$と(4) $3x^2-xy-2y^2-2x-3y-1$を因数分解します。

2. 解き方の手順

(3) $x^2+3xy+2y^2-2x-5y-3$

まず、$x$についての二次式として整理します。

$x^2 + (3y-2)x + (2y^2-5y-3)$

次に、定数項である$2y^2-5y-3$を因数分解します。

$2y^2-5y-3 = (2y+1)(y-3)$

与式は、

$x^2 + (3y-2)x + (2y+1)(y-3)$

と書けます。ここで、因数分解の形を$(x+Ay+B)(x+Cy+D)$と仮定して、$A, B, C, D$を求めます。

$(x+Ay+B)(x+Cy+D) = x^2 + (A+C)xy + (B+D)x + ACy^2 + (AD+BC)y + BD$

係数を比較すると、以下の式が得られます。

$A+C = 3$

$B+D = -2$

$AC = 2$

$AD+BC = -5$

$BD = -3$

$AC=2$を満たす整数の組み合わせは$(A, C)=(1, 2)$または$(2, 1)$です。

$(A, C)=(1, 2)$とすると、$AD+BC = D + 2B = -5$。

$BD=-3$より、$(B, D)=(1, -3)$または$(-1, 3)$または$(3, -1)$または$(-3, 1)$.

$(B, D)=(1, -3)$のとき、$D+2B = -3+2 = -1 \neq -5$。

$(B, D)=(-1, 3)$のとき、$D+2B = 3-2 = 1 \neq -5$。

$(B, D)=(3, -1)$のとき、$D+2B = -1+6 = 5 \neq -5$。

$(B, D)=(-3, 1)$のとき、$D+2B = 1-6 = -5$.

したがって、$(A, C)=(1, 2)$、$B=-3$, $D=1$.

したがって、$x^2+3xy+2y^2-2x-5y-3=(x+y-3)(x+2y+1)$

(4) $3x^2-xy-2y^2-2x-3y-1$

$x$について整理します。

$3x^2 + (-y-2)x - (2y^2+3y+1)$

定数項を因数分解します。

$2y^2+3y+1 = (2y+1)(y+1)$

与式は、

$3x^2 + (-y-2)x - (2y+1)(y+1)$

と書けます。

因数分解の形を$(ax+by+c)(dx+ey+f)$と仮定すると、$ad=3$, $be=-2$, $cf=-1$。

ここで、$(3x+y+1)(x-2y-1)$を考えると、$3x^2-6xy-3x+xy-2y^2-y+3x+y+1=3x^2-5xy-2y^2-1$となり、これは正しくありません。

$(3x+2y+1)(x-y-1)$を考えると、$3x^2-3xy-3x+2xy-2y^2-2y+x-y-1=3x^2-xy-2y^2-2x-3y-1$となり、これが答えです。

3. 最終的な答え

(3) $(x+y-3)(x+2y+1)$

(4) $(3x+2y+1)(x-y-1)$