(1) 関数 $y = 2x^2 - 4x + k - 1$ ($0 \le x \le 3$) の最大値が $7$ であるとき、定数 $k$ の値を求め、このときの最小値を求めよ。 (2) 関数 $y = -x^2 + 4lx - l + 5$ ($2 \le x \le 4$) の最小値が $3$ であるとき、正の定数 $l$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = 2x^2 - 4x + k - 1$ ($0 \le x \le 3$) の最大値が $7$ であるとき、定数 $k$ の値を求め、このときの最小値を求めよ。

(2) 関数 $y = -x^2 + 4lx - l + 5$ ($2 \le x \le 4$) の最小値が $3$ であるとき、正の定数 $l$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = 2x^2 - 4x + k - 1$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 - 2x) + k - 1 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + k - 1 = 2(x-1)^2 - 2 + k - 1 = 2(x-1)^2 + k - 3$

このグラフは下に凸な放物線で、軸は $x=1$ である。

定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値を考える。軸から最も離れているのは $x=3$ なので、最大値は $x=3$ のときである。

$x=3$ のとき $y = 2(3-1)^2 + k - 3 = 2(2)^2 + k - 3 = 8 + k - 3 = k + 5$

最大値が $7$ なので、$k + 5 = 7$ より $k = 2$。

したがって、$y = 2(x-1)^2 + 2 - 3 = 2(x-1)^2 - 1$

最小値は軸 $x=1$ のときなので、$y = -1$

(2)

まず、$y = -x^2 + 4lx - l + 5$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 4lx) - l + 5 = -(x^2 - 4lx + (2l)^2 - (2l)^2) - l + 5 = -(x - 2l)^2 + 4l^2 - l + 5$

このグラフは上に凸な放物線で、軸は $x=2l$ である。

定義域 $2 \le x \le 4$ における最小値を考える。

i) $2l < 2$ のとき、つまり $l < 1$ のとき

$x=2$ で最小値をとる。

$y = -2^2 + 4l(2) - l + 5 = -4 + 8l - l + 5 = 7l + 1 = 3$

$7l = 2$ より $l = \frac{2}{7}$。 これは $l < 1$ を満たす。

ii) $2 \le 2l \le 4$ のとき、つまり $1 \le l \le 2$ のとき

$x=4$ で最小値をとる。

$y = -4^2 + 4l(4) - l + 5 = -16 + 16l - l + 5 = 15l - 11 = 3$

$15l = 14$ より $l = \frac{14}{15}$。 これは $1 \le l \le 2$ を満たさない。

iii) $2l > 4$ のとき、つまり $l > 2$ のとき

$x=4$ で最小値をとる。

$y = -4^2 + 4l(4) - l + 5 = -16 + 16l - l + 5 = 15l - 11 = 3$

$15l = 14$ より $l = \frac{14}{15}$。 これは $l > 2$ を満たさない。

したがって、$l = \frac{2}{7}$。

3. 最終的な答え

(1) $k=2$, 最小値 $-1$

(2) $l=\frac{2}{7}$