与えられた式 $9a^2 + 3ab - 6a - b + 1$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $9a^2 + 3ab - 6a - b + 1$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $a$ について整理します。

$9a^2 + (3b - 6)a - b + 1$

次に、$a$についての2次式と見て、因数分解を試みます。

もし因数分解できるなら、$(Aa + B)(Ca + D)$ の形になるはずです。

$AC = 9$ なので、$A$ と $C$ の組み合わせは $(1,9)$, $(3,3)$, $(9,1)$ などが考えられます。

また、$BD = -b+1$である必要があるので、定数項に注目します。

与えられた式をよく見ると、

$9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$ という部分があることに気づきます。

そこで、この部分を利用して式を変形します。

$9a^2 + 3ab - 6a - b + 1 = (9a^2 - 6a + 1) + (3ab - b)$

$= (3a - 1)^2 + b(3a - 1)$

ここで、$(3a - 1)$ を共通因数としてくくり出すことができます。

$(3a - 1)^2 + b(3a - 1) = (3a - 1)(3a - 1 + b)$

したがって、因数分解の結果は $(3a - 1)(3a + b - 1)$ となります。

3. 最終的な答え

$(3a - 1)(3a + b - 1)$