与えられた4つの連立不等式をそれぞれ解き、解の範囲を求めます。 (1) $ \begin{cases} x^2 - x - 2 < 0 \\ x^2 - 5x + 4 \leq 0 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} 2x^2 + x - 1 > 0 \\ x^2 - 4 < 0 \end{cases} $ (3) $ \begin{cases} x^2 - 2x - 1 < 0 \\ x^2 - 2x - 8 \leq 0 \end{cases} $ (4) $ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 < 0 \\ x^2 - 5x + 6 \leq 0 \end{cases} $

はい、承知いたしました。画像に写っている4つの連立不等式を解きます。

1. 問題の内容

与えられた4つの連立不等式をそれぞれ解き、解の範囲を求めます。

(1)

$$

\begin{cases}

x^2 - x - 2 < 0 \\

x^2 - 5x + 4 \leq 0

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

2x^2 + x - 1 > 0 \\

x^2 - 4 < 0

\end{cases}

$$

(3)

$$

\begin{cases}

x^2 - 2x - 1 < 0 \\

x^2 - 2x - 8 \leq 0

\end{cases}

$$

(4)

$$

\begin{cases}

x^2 - 2x - 3 < 0 \\

x^2 - 5x + 6 \leq 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1)

* $x^2 - x - 2 < 0$ を解く:

$(x - 2)(x + 1) < 0$ より、$-1 < x < 2$

* $x^2 - 5x + 4 \leq 0$ を解く:

$(x - 1)(x - 4) \leq 0$ より、$1 \leq x \leq 4$

2つの不等式を同時に満たす範囲は、$1 \leq x < 2$

(2)

* $2x^2 + x - 1 > 0$ を解く:

$(2x - 1)(x + 1) > 0$ より、$x < -1$ または $x > \frac{1}{2}$

* $x^2 - 4 < 0$ を解く:

$(x - 2)(x + 2) < 0$ より、$-2 < x < 2$

2つの不等式を同時に満たす範囲は、$-2 < x < -1$ または $\frac{1}{2} < x < 2$

(3)

* $x^2 - 2x - 1 < 0$ を解く:

解の公式より、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$

* $x^2 - 2x - 8 \leq 0$ を解く:

$(x - 4)(x + 2) \leq 0$ より、$-2 \leq x \leq 4$

2つの不等式を同時に満たす範囲は、$1 - \sqrt{2} < x \leq 1 + \sqrt{2}$ かつ $-2 \leq x \leq 4$

$1-\sqrt{2} \approx -0.414$

$1+\sqrt{2} \approx 2.414$

よって、$1 - \sqrt{2} < x \leq 1 + \sqrt{2}$

(4)

* $x^2 - 2x - 3 < 0$ を解く:

$(x - 3)(x + 1) < 0$ より、$-1 < x < 3$

* $x^2 - 5x + 6 \leq 0$ を解く:

$(x - 2)(x - 3) \leq 0$ より、$2 \leq x \leq 3$

2つの不等式を同時に満たす範囲は、$2 \leq x < 3$

3. 最終的な答え

(1) $1 \leq x < 2$

(2) $-2 < x < -1$ または $\frac{1}{2} < x < 2$

(3) $1 - \sqrt{2} < x \leq 1 + \sqrt{2}$

(4) $2 \leq x < 3$