与えられた数式 $x^2 + 3xy + 2y^2 - 2x - 5y - 3$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式 $x^2 + 3xy + 2y^2 - 2x - 5y - 3$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 3xy + 2y^2$ の部分を因数分解します。

$x^2 + 3xy + 2y^2 = (x+y)(x+2y)$

与式全体を以下のように書き換えます。

$(x+y)(x+2y) - 2x - 5y - 3$

次に、$x$または$y$について整理することを考えます。ここでは$x$について整理します。

$x^2 + (3y-2)x + (2y^2 - 5y - 3)$

$2y^2 - 5y - 3$を因数分解します。

$2y^2 - 5y - 3 = (2y+1)(y-3)$

よって、与式は以下のように書き換えられます。

$x^2 + (3y-2)x + (2y+1)(y-3)$

この式を$(x+A)(x+B)$の形に因数分解することを考えます。

$A+B = 3y-2$

$AB = (2y+1)(y-3)$

となる$A$と$B$を見つけます。

$A=2y+1$, $B=y-3$とすると、$A+B = 3y-2$かつ$AB = (2y+1)(y-3)$となるので、

$(x+2y+1)(x+y-3)$と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x+2y+1)(x+y-3)$