$-3 \leq x \leq 1$ における関数 $y = -x^2 + 2ax + a^2 - a + 3$ の最大値 $M(a)$ および最小値 $m(a)$ をそれぞれ $a$ の式で表す問題です。

1. 問題の内容

$-3 \leq x \leq 1$ における関数 $y = -x^2 + 2ax + a^2 - a + 3$ の最大値 $M(a)$ および最小値 $m(a)$ をそれぞれ $a$ の式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2ax + a^2 - a + 3$

$y = -(x^2 - 2ax) + a^2 - a + 3$

$y = -(x^2 - 2ax + a^2) + a^2 + a^2 - a + 3$

$y = -(x - a)^2 + 2a^2 - a + 3$

このグラフは、頂点が $(a, 2a^2 - a + 3)$ の上に凸な放物線です。定義域が $-3 \leq x \leq 1$ であることを考慮して、場合分けをして最大値と最小値を求めます。

(1) $a < -3$ のとき、最大値は $x= -3$ のとき、最小値は $x=1$ のときです。

$M(a) = -(-3)^2 + 2a(-3) + a^2 - a + 3 = -9 - 6a + a^2 - a + 3 = a^2 - 7a - 6$

$m(a) = -(1)^2 + 2a(1) + a^2 - a + 3 = -1 + 2a + a^2 - a + 3 = a^2 + a + 2$

(2) $-3 \leq a \leq 1$ のとき、最大値は頂点の $y$ 座標 $2a^2 - a + 3$ です。最小値は $x=1$ のとき、すなわち$m(a) = a^2 + a + 2$か$x=-3$ のとき、すなわち$M(a) = a^2 - 7a - 6$のどちらか小さいほうです。

$2a^2 - a + 3 - (a^2 - 7a - 6) = a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2 \geq 0$

$2a^2 - a + 3 - (a^2 + a + 2) = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2 \geq 0$

$M(a) = 2a^2 - a + 3$

$-3 \leq a \leq 1$のとき、$m(a)= \min\{a^2 - 7a - 6, a^2 + a + 2\}$。

$a^2 - 7a - 6 = a^2 + a + 2$を解くと、$-8a = 8$となり、$a = -1$。

よって$-3 \leq a \leq -1$のとき$m(a) = a^2 - 7a - 6$、$-1 \leq a \leq 1$のとき$m(a) = a^2 + a + 2$

(3) $a > 1$ のとき、最大値は $x=1$ のとき、最小値は $x=-3$ のときです。

$M(a) = a^2 + a + 2$

$m(a) = a^2 - 7a - 6$

3. 最終的な答え

$M(a) = \begin{cases}

a^2 - 7a - 6 & (a < -3) \\

2a^2 - a + 3 & (-3 \leq a \leq 1) \\

a^2 + a + 2 & (a > 1)

\end{cases}$

$m(a) = \begin{cases}

a^2 + a + 2 & (a < -3) \\

a^2 - 7a - 6 & (-3 \leq a \leq -1) \\

a^2 + a + 2 & (-1 \leq a \leq 1) \\

a^2 - 7a - 6 & (a > 1)

\end{cases}$