与えられた2次関数を平方完成し、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形します。具体的には、以下の4つの関数について行います。 (1) $y = 3x^2 - 3x - 6$ (2) $y = 2x^2 + 3x + 1$ (3) $y = -3x^2 + 2x$ (4) $y = -x^2 + 3x - 3$

はい、承知しました。問題の2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形します。

1. 問題の内容

与えられた2次関数を平方完成し、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形します。具体的には、以下の4つの関数について行います。

(1) $y = 3x^2 - 3x - 6$

(2) $y = 2x^2 + 3x + 1$

(3) $y = -3x^2 + 2x$

(4) $y = -x^2 + 3x - 3$

2. 解き方の手順

平方完成の手順は以下の通りです。

(1) $x^2$ の係数で $x^2$ と $x$ の項をくくります。

(2) $x$ の係数の半分の2乗を足して引きます。

(3) 平方完成します。

(4) 定数項を整理します。

(1) $y = 3x^2 - 3x - 6$ の場合：

$y = 3(x^2 - x) - 6$

$x$ の係数は -1 なので、その半分は $-\frac{1}{2}$、2乗は $\frac{1}{4}$ です。

$y = 3(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 6$

$y = 3((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 6$

$y = 3(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} - 6$

$y = 3(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{27}{4}$

(2) $y = 2x^2 + 3x + 1$ の場合：

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x) + 1$

$x$ の係数は $\frac{3}{2}$ なので、その半分は $\frac{3}{4}$、2乗は $\frac{9}{16}$ です。

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) + 1$

$y = 2((x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 1$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 1$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$

(3) $y = -3x^2 + 2x$ の場合：

$y = -3(x^2 - \frac{2}{3}x)$

$x$ の係数は $-\frac{2}{3}$ なので、その半分は $-\frac{1}{3}$、2乗は $\frac{1}{9}$ です。

$y = -3(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9})$

$y = -3((x - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9})$

$y = -3(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3}$

(4) $y = -x^2 + 3x - 3$ の場合：

$y = -(x^2 - 3x) - 3$

$x$ の係数は -3 なので、その半分は $-\frac{3}{2}$、2乗は $\frac{9}{4}$ です。

$y = -(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 3$

$y = -((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 3$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - 3$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{27}{4}$

(2) $y = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$

(3) $y = -3(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3}$

(4) $y = -(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{3}{4}$