頂点が(4, 1)であり、点(3, 2)を通る二次関数の式を求める問題です。

## (1) 頂点が点(4, 1)で、点(3, 2)を通る。

1. 問題の内容

頂点が(4, 1)であり、点(3, 2)を通る二次関数の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

頂点が与えられているので、二次関数の式を $y = a(x - p)^2 + q$ の形でおきます。

ここで、頂点の座標は (p, q) = (4, 1) なので、式は次のようになります。

$y = a(x - 4)^2 + 1$

次に、この二次関数が点(3, 2)を通ることから、x = 3, y = 2 を代入して a の値を求めます。

$2 = a(3 - 4)^2 + 1$

$2 = a(-1)^2 + 1$

$2 = a + 1$

$a = 1$

したがって、二次関数の式は $y = 1(x - 4)^2 + 1$ となります。

これを展開して整理すると、

$y = (x^2 - 8x + 16) + 1$

$y = x^2 - 8x + 17$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 8x + 17$

## (2) 頂点が点(1, -6)で、点(3, 6)を通る。

1. 問題の内容

頂点が(1, -6)であり、点(3, 6)を通る二次関数の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

頂点が与えられているので、二次関数の式を $y = a(x - p)^2 + q$ の形でおきます。

ここで、頂点の座標は (p, q) = (1, -6) なので、式は次のようになります。

$y = a(x - 1)^2 - 6$

次に、この二次関数が点(3, 6)を通ることから、x = 3, y = 6 を代入して a の値を求めます。

$6 = a(3 - 1)^2 - 6$

$6 = a(2)^2 - 6$

$6 = 4a - 6$

$12 = 4a$

$a = 3$

したがって、二次関数の式は $y = 3(x - 1)^2 - 6$ となります。

これを展開して整理すると、

$y = 3(x^2 - 2x + 1) - 6$

$y = 3x^2 - 6x + 3 - 6$

$y = 3x^2 - 6x - 3$

3. 最終的な答え

$y = 3x^2 - 6x - 3$

## (3) 軸が直線 x = -3 で、2点(-5, 2), (-2, -4)を通る。

1. 問題の内容

軸が直線 $x = -3$ であり、2点(-5, 2), (-2, -4)を通る二次関数の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

軸が $x = -3$ なので、二次関数の式を $y = a(x + 3)^2 + q$ の形でおきます。

この式に2点の座標を代入して、a と q に関する連立方程式を立てます。

点(-5, 2)を代入すると、

$2 = a(-5 + 3)^2 + q$

$2 = a(-2)^2 + q$

$2 = 4a + q$

点(-2, -4)を代入すると、

$-4 = a(-2 + 3)^2 + q$

$-4 = a(1)^2 + q$

$-4 = a + q$

連立方程式を解きます。

$4a + q = 2$

$a + q = -4$

上の式から下の式を引くと、

$3a = 6$

$a = 2$

$a = 2$ を $a + q = -4$ に代入すると、

$2 + q = -4$

$q = -6$

したがって、二次関数の式は $y = 2(x + 3)^2 - 6$ となります。

これを展開して整理すると、

$y = 2(x^2 + 6x + 9) - 6$

$y = 2x^2 + 12x + 18 - 6$

$y = 2x^2 + 12x + 12$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 + 12x + 12$

## (4) 3点(-2, 8), (1, -7), (3, 3)を通る。

1. 問題の内容

3点(-2, 8), (1, -7), (3, 3)を通る二次関数の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

二次関数の式を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。

この式に3点の座標を代入して、a, b, c に関する連立方程式を立てます。

点(-2, 8)を代入すると、

$8 = a(-2)^2 + b(-2) + c$

$8 = 4a - 2b + c$

点(1, -7)を代入すると、

$-7 = a(1)^2 + b(1) + c$

$-7 = a + b + c$

点(3, 3)を代入すると、

$3 = a(3)^2 + b(3) + c$

$3 = 9a + 3b + c$

連立方程式を解きます。

$4a - 2b + c = 8$ (1)

$a + b + c = -7$ (2)

$9a + 3b + c = 3$ (3)

(1) - (2)より、

$3a - 3b = 15$

$a - b = 5$ (4)

(3) - (2)より、

$8a + 2b = 10$

$4a + b = 5$ (5)

(4) + (5)より、

$5a = 10$

$a = 2$

$a = 2$ を (4) に代入すると、

$2 - b = 5$

$b = -3$

$a = 2, b = -3$ を (2) に代入すると、

$2 - 3 + c = -7$

$-1 + c = -7$

$c = -6$

したがって、二次関数の式は $y = 2x^2 - 3x - 6$ となります。

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 3x - 6$