(1) $x \ge 3$ のとき、$\sqrt{x^2-6x+9}$ を $x$ の多項式で表す。 (2) $-2 < x < 4$ のとき、$\sqrt{x^2+4x+4} + \sqrt{4x^2-32x+64}$ を $x$ の多項式で表す。

1. 問題の内容

(1) $x \ge 3$ のとき、$\sqrt{x^2-6x+9}$ を $x$ の多項式で表す。

(2) $-2 < x < 4$ のとき、$\sqrt{x^2+4x+4} + \sqrt{4x^2-32x+64}$ を $x$ の多項式で表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、根号の中身を因数分解します。

$x^2-6x+9 = (x-3)^2$

したがって、

$\sqrt{x^2-6x+9} = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$

$x \ge 3$ のとき、$x-3 \ge 0$ であるから、

$|x-3| = x-3$

(2)

まず、それぞれの根号の中身を因数分解します。

$x^2+4x+4 = (x+2)^2$

$4x^2-32x+64 = 4(x^2-8x+16) = 4(x-4)^2 = (2(x-4))^2 = (2x-8)^2$

したがって、

$\sqrt{x^2+4x+4} + \sqrt{4x^2-32x+64} = \sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(2x-8)^2} = |x+2| + |2x-8|$

$-2 < x < 4$ のとき、$x+2 > 0$ より $|x+2| = x+2$

$-2 < x < 4$ のとき、$2x < 8$ より $2x-8 < 0$ なので、 $|2x-8| = -(2x-8) = -2x+8$

したがって、

$|x+2| + |2x-8| = (x+2) + (-2x+8) = -x+10$

3. 最終的な答え

(1) $x-3$

(2) $-x+10$