(1) $x + 2y = 3$ のとき、$x^2 + 2y^2$ の最小値を求めよ。 (2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x + y = 4$ のとき、$xy$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x + 2y = 3$ のとき、$x^2 + 2y^2$ の最小値を求めよ。

(2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x + y = 4$ のとき、$xy$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x + 2y = 3$ より $x = 3 - 2y$.

これを $x^2 + 2y^2$ に代入する。

$x^2 + 2y^2 = (3-2y)^2 + 2y^2 = 9 - 12y + 4y^2 + 2y^2 = 6y^2 - 12y + 9 = 6(y^2 - 2y) + 9 = 6(y^2 - 2y + 1 - 1) + 9 = 6(y-1)^2 - 6 + 9 = 6(y-1)^2 + 3$.

$(y-1)^2 \geq 0$ より、 $y = 1$ のとき最小値3をとる。

$y = 1$ のとき $x = 3 - 2(1) = 1$.

(2)

$2x + y = 4$ より $y = 4 - 2x$.

$x \geq 0$, $y \geq 0$ より $4 - 2x \geq 0$, よって $2x \leq 4$, $x \leq 2$.

$0 \leq x \leq 2$.

$xy = x(4 - 2x) = 4x - 2x^2 = -2(x^2 - 2x) = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) = -2(x-1)^2 + 2$.

$0 \leq x \leq 2$ の範囲で考える。

$x = 1$ のとき最大値2をとる。このとき $y = 4 - 2(1) = 2$.

$x = 0$ または $x = 2$ のとき最小値0をとる。

$x = 0$ のとき $y = 4$.

$x = 2$ のとき $y = 0$.

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 3

(2) 最大値: 2, 最小値: 0