与えられた2次関数の最大値と最小値を求め、それぞれをとる時の$x$の値を求めます。ただし、(3)と(4)の問題には、$x$の範囲が指定されています。

1. 問題の内容

与えられた2次関数の最大値と最小値を求め、それぞれをとる時の$x$の値を求めます。ただし、(3)と(4)の問題には、$x$の範囲が指定されています。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 - 4x + 5$

平方完成を行い、頂点を求めます。

$y = 2(x^2 - 2x) + 5$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5$

$y = 2((x-1)^2 - 1) + 5$

$y = 2(x-1)^2 - 2 + 5$

$y = 2(x-1)^2 + 3$

頂点は$(1, 3)$。下に凸の放物線なので、最小値は$3$ ($x=1$のとき)。最大値は存在しません。

(2) $y = -x^2 + 3x + 1$

平方完成を行い、頂点を求めます。

$y = -(x^2 - 3x) + 1$

$y = -(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) + 1$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 1$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{13}{4}$

頂点は$(\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$。上に凸の放物線なので、最大値は$\frac{13}{4}$ ($x=\frac{3}{2}$のとき)。最小値は存在しません。

(3) $y = -x^2 + 1$ ($1 \le x \le 3$)

$y = -(x^2 - 0x) + 1$

$y = -(x-0)^2 + 1$

頂点は$(0, 1)$。上に凸の放物線。定義域は$1 \le x \le 3$。

$x=1$のとき、$y = -1^2 + 1 = 0$

$x=3$のとき、$y = -3^2 + 1 = -8$

最大値は$0$ ($x=1$のとき)。最小値は$-8$ ($x=3$のとき)。

(4) $y = x^2 - 4x + 5$ ($0 \le x \le 3$)

平方完成を行い、頂点を求めます。

$y = (x^2 - 4x) + 5$

$y = (x^2 - 4x + 4 - 4) + 5$

$y = (x-2)^2 - 4 + 5$

$y = (x-2)^2 + 1$

頂点は$(2, 1)$。下に凸の放物線。定義域は$0 \le x \le 3$。

$x=0$のとき、$y = 0^2 - 4(0) + 5 = 5$

$x=3$のとき、$y = 3^2 - 4(3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$

最小値は$1$ ($x=2$のとき)。最大値は$5$ ($x=0$のとき)。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 3 ($x=1$のとき), 最大値: なし

(2) 最大値: $\frac{13}{4}$ ($x=\frac{3}{2}$のとき), 最小値: なし

(3) 最大値: 0 ($x=1$のとき), 最小値: -8 ($x=3$のとき)

(4) 最大値: 5 ($x=0$のとき), 最小値: 1 ($x=2$のとき)