## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) 定義域 $0 \le x \le 3$ における関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + b$ の最大値が 19、最小値が 1 であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

(2) 定義域 $1 \le x \le 3$ における関数 $f(x) = x^2 - 2ax + b$ の最大値が 11、最小値が 2 であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1) について**

関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + b$ を平方完成すると、

$f(x) = a(x^2 - 2x) + b = a(x - 1)^2 - a + b$ となる。

$x=1$ が軸である。定義域は $0 \le x \le 3$。

$a > 0$ のとき、下に凸の放物線なので、$x = 3$ で最大値、 $x = 1$ で最小値をとる。

$f(3) = 9a - 6a + b = 3a + b = 19$

$f(1) = a - 2a + b = -a + b = 1$

この連立方程式を解くと、

$3a + b = 19$

$-a + b = 1$

$4a = 18$ より $a = \frac{9}{2}$

$b = 1 + a = 1 + \frac{9}{2} = \frac{11}{2}$

$a = \frac{9}{2} > 0$ なので条件を満たす。

$a < 0$ のとき、上に凸の放物線なので、$x = 0$ で最大値、$x=1$で最小値をとる。

$f(0) = b = 19$

$f(1) = -a + b = 1$

$-a + 19 = 1$ より $a = 18$

$a < 0$ であることに矛盾。

$a = 0$のとき、$f(x) = b$となり、最大値と最小値が異なると言う条件に矛盾する。

**(2) について**

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + b$ を平方完成すると、

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + b$ となる。

軸は $x = a$ であり、下に凸の放物線。定義域は $1 \le x \le 3$。

場合分けをする。

(i) $a \le 1$ のとき、最小値は $x = 1$ でとり、$f(1) = 1 - 2a + b = 2$。

最大値は $x = 3$ でとり、$f(3) = 9 - 6a + b = 11$。

この連立方程式を解くと、

$1 - 2a + b = 2$

$9 - 6a + b = 11$

$8 - 4a = 9$

$4a = -1$

$a = -\frac{1}{4}$

$b = 2 - 1 + 2a = 1 + 2(-\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$

$a = -\frac{1}{4} \le 1$ なので条件を満たす。

(ii) $1 < a < 3$ のとき、最小値は $x = a$ でとり、$f(a) = a^2 - 2a^2 + b = -a^2 + b = 2$。

最大値は $x = 1$ または $x = 3$ でとる。

$f(1) = 1 - 2a + b$

$f(3) = 9 - 6a + b$

$x=1$で最大値をとるとき、$1-2a+b = 11$, $-a^2 + b = 2$

$b = 10 + 2a$, $-a^2 + 10 + 2a = 2$, $a^2 -2a - 8 = 0$, $(a-4)(a+2) = 0$, $a=4, -2$ これは $1 < a < 3$ を満たさない。

$x=3$で最大値をとるとき、$9-6a+b = 11$, $-a^2 + b = 2$

$b = 2+a^2$, $9 - 6a + 2+a^2 = 11$, $a^2 -6a = 0$, $a(a-6) = 0$, $a=0, 6$ これは $1 < a < 3$ を満たさない。

(iii) $a \ge 3$ のとき、最小値は $x = 3$ でとり、$f(3) = 9 - 6a + b = 2$。

最大値は $x = 1$ でとり、$f(1) = 1 - 2a + b = 11$。

この連立方程式を解くと、

$9 - 6a + b = 2$

$1 - 2a + b = 11$

$8 - 4a = -9$

$4a = 17$

$a = \frac{17}{4}$

$b = 11 - 1 + 2a = 10 + \frac{17}{2} = \frac{37}{2}$

$a = \frac{17}{4} = 4.25 \ge 3$ なので条件を満たす。

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3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{9}{2}, b = \frac{11}{2}$

(2) $a = -\frac{1}{4}, b = \frac{1}{2}$ または $a = \frac{17}{4}, b = \frac{37}{2}$