与えられた式を展開・因数分解し、空欄を埋める問題です。具体的には、 $(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 2x - 3) = x^4 + \boxed{ア}x^3 + \boxed{イ}x^2 - \boxed{ウ}$ $x^2 - 6y^2 + xy - x + 7y - 2 = (x + \boxed{エ}y - \boxed{オ})(x - \boxed{カ}y + \boxed{キ})$ の空欄ア～キを求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた式を展開・因数分解し、空欄を埋める問題です。具体的には、

$(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 2x - 3) = x^4 + \boxed{ア}x^3 + \boxed{イ}x^2 - \boxed{ウ}$

$x^2 - 6y^2 + xy - x + 7y - 2 = (x + \boxed{エ}y - \boxed{オ})(x - \boxed{カ}y + \boxed{キ})$

の空欄ア～キを求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 2x - 3)$ の展開

$A = x^2 + 2x$ と置くと、

$(A+3)(A-3) = A^2 - 9 = (x^2 + 2x)^2 - 9 = x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 9$

よって、ア = 4, イ = 4, ウ = 9

(2) $x^2 - 6y^2 + xy - x + 7y - 2$ の因数分解

$x$ について整理すると、

$x^2 + (y-1)x - (6y^2 - 7y + 2)$

$6y^2 - 7y + 2 = (2y - 1)(3y - 2)$ より、

$x^2 + (y-1)x - (2y - 1)(3y - 2)$

たすき掛けを用いて因数分解を試みる。

$(x + ay + b)(x + cy + d) = x^2 + (a+c)xy + (b+d)x + (ac)y^2 + (ad+bc)y + bd$

となることから、

$x^2 + (y-1)x - (2y - 1)(3y - 2) = (x + ay + b)(x + cy + d)$ において

$a+c = 1$, $ac = -6$, $b+d = -1$, $bd = -2$

を満たす $a, c, b, d$ を見つければよい。

$(x + 3y - 2)(x - 2y + 1)$

$= x^2 + (3-2)xy + (-2+1)x + (-6)y^2 + (3 - 4)y - 2$

$= x^2 + xy - x - 6y^2 -y - 2$

係数が合わないので符号を調整する。

$(x + 3y - 2)(x - 2y + 1)$ を参考に、

$(x + 3y - 2)(x - 2y + 1) = x^2 + (3-2)xy + (-2+1)x -6y^2 + (3-4)y -2 = x^2 + xy -x - 6y^2 -y - 2$

$(x-2y+1)(x+3y-2) = x^2 + (3-2)xy + (-2+1)x -6y^2 +(3-4)y -2 = x^2 + xy - x - 6y^2 -y - 2$

$(x + 3y - 2)(x - 2y + 1)$ ではなく、

$(x - 2y + 1)(x + 3y - 2)$

$(x - 2y + 1)(x + 3y - 2) = x^2 +(1)x +xy-2y^2+3xy-6y^2 -2 +3y -7y +2$

正しくは

$(x + 3y - 2)(x - 2y + 1) = x^2 + (3-2)xy + (1-2)x - 6y^2 + (3+4)y - 2 = x^2 + xy - x - 6y^2 + 7y - 2$

となるので、エ = 3, オ = 2, カ = 2, キ = 1

3. 最終的な答え

ア = 4

イ = 4

ウ = 9

エ = 3

オ = 2

カ = 2

キ = 1