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複素数 $\alpha$ と $\beta$ があり、$\alpha + \beta + i = 0$ を満たすとき、$\overline{\alpha + \beta}$ を求めよ。

代数学複素数共役複素数複素数の計算
2025/6/9

1. 問題の内容

複素数 α\alpha と β\beta があり、α+β+i=0\alpha + \beta + i = 0 を満たすとき、α+β‾\overline{\alpha + \beta} を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式は、α+β+i=0\alpha + \beta + i = 0 です。まず、この式から α+β\alpha + \beta を求めます。
α+β=−i\alpha + \beta = -i
次に、複素数 zz に対して、z‾\overline{z} は zz の共役複素数を表します。共役複素数の性質として、複素数の和の共役複素数は、それぞれの共役複素数の和に等しいこと、つまり、z1+z2‾=z1‾+z2‾\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} が成り立ちます。
また、複素数 z=a+biz = a + bi （a,ba, b は実数）に対して、共役複素数は z‾=a−bi\overline{z} = a - bi となります。
したがって、−i‾\overline{-i} を求めます。 −i=0−i-i = 0 - i と考えると、その共役複素数は 0+i=i0 + i = i となります。
ゆえに、
α+β‾=−i‾=i\overline{\alpha + \beta} = \overline{-i} = i

3. 最終的な答え

α+β‾=i\overline{\alpha + \beta} = i

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