与えられた4つの2次関数について、そのグラフとx軸との共有点の数と、共有点を持つ場合はその座標を求める問題です。 (1) $y = -2x^2 + 4x - 2$ (2) $y = 6x^2 - 5x + 1$ (3) $y = -x^2 - 6x - 1$ (4) $y = -10x^2 - 7x - 3$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数について、そのグラフとx軸との共有点の数と、共有点を持つ場合はその座標を求める問題です。

(1) $y = -2x^2 + 4x - 2$

(2) $y = 6x^2 - 5x + 1$

(3) $y = -x^2 - 6x - 1$

(4) $y = -10x^2 - 7x - 3$

2. 解き方の手順

2次関数とx軸との共有点は、$y = 0$ となるxの値を求めることで求められます。つまり、2次方程式を解きます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とすると、

- $D > 0$ のとき、共有点は2つ

- $D = 0$ のとき、共有点は1つ

- $D < 0$ のとき、共有点は0つ

となります。

共有点を持つ場合は、2次方程式の解の公式

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

を用いて、xの値を求めます。

(1) $y = -2x^2 + 4x - 2$

$-2x^2 + 4x - 2 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$D = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$

共有点は1つ。

$x = \frac{-(-2)}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1$

共有点の座標は (1, 0)

(2) $y = 6x^2 - 5x + 1$

$6x^2 - 5x + 1 = 0$

$D = (-5)^2 - 4(6)(1) = 25 - 24 = 1$

共有点は2つ。

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(6)} = \frac{5 \pm 1}{12}$

$x_1 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

共有点の座標は (1/2, 0) と (1/3, 0)

(3) $y = -x^2 - 6x - 1$

$-x^2 - 6x - 1 = 0$

$x^2 + 6x + 1 = 0$

$D = 6^2 - 4(1)(1) = 36 - 4 = 32$

共有点は2つ。

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$

共有点の座標は $(-3 + 2\sqrt{2}, 0)$ と $(-3 - 2\sqrt{2}, 0)$

(4) $y = -10x^2 - 7x - 3$

$-10x^2 - 7x - 3 = 0$

$10x^2 + 7x + 3 = 0$

$D = 7^2 - 4(10)(3) = 49 - 120 = -71$

共有点は0つ。

3. 最終的な答え

(1) 共有点の数: 1つ、座標: (1, 0)

(2) 共有点の数: 2つ、座標: (1/2, 0), (1/3, 0)

(3) 共有点の数: 2つ、座標: $(-3 + 2\sqrt{2}, 0)$, $(-3 - 2\sqrt{2}, 0)$

(4) 共有点の数: 0つ