与えられた4つの2次方程式について、それぞれの条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。 (1) $x^2 + 2ax + a + 2 = 0$ が重解を持つ。 (2) $x^2 - 2ax + a^2 - a + 3 = 0$ が異なる2つの実数解を持つ。 (3) $ax^2 - (2a - 1)x + a = 0$ が実数解を持つ。 (4) $2x^2 - 3x + a - 1 = 0$ が実数解を持たない。

1. 問題の内容

与えられた4つの2次方程式について、それぞれの条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

(1) $x^2 + 2ax + a + 2 = 0$ が重解を持つ。

(2) $x^2 - 2ax + a^2 - a + 3 = 0$ が異なる2つの実数解を持つ。

(3) $ax^2 - (2a - 1)x + a = 0$ が実数解を持つ。

(4) $2x^2 - 3x + a - 1 = 0$ が実数解を持たない。

2. 解き方の手順

2次方程式 $Ax^2 + Bx + C = 0$ の判別式を $D = B^2 - 4AC$ とします。

(1) 重解を持つ条件は $D = 0$ です。

$D = (2a)^2 - 4(1)(a + 2) = 4a^2 - 4a - 8 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a - 2)(a + 1) = 0$

$a = 2, -1$

(2) 異なる2つの実数解を持つ条件は $D > 0$ です。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(a^2 - a + 3) = 4a^2 - 4a^2 + 4a - 12 = 4a - 12 > 0$

$4a > 12$

$a > 3$

(3) 実数解を持つ条件は $D \geq 0$ です。ただし、$a = 0$ のときは1次方程式になるので、それも考慮する必要があります。

$a = 0$ のとき、 $x = 0$ となり、実数解を持つので、$a=0$ は条件を満たします。

$a \neq 0$ のとき、

$D = (-(2a - 1))^2 - 4(a)(a) = (2a - 1)^2 - 4a^2 = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 = -4a + 1 \geq 0$

$-4a \geq -1$

$a \leq \frac{1}{4}$

したがって、$a \leq \frac{1}{4}$ かつ $a \neq 0$, または $a = 0$。

まとめると $a \leq \frac{1}{4}$

(4) 実数解を持たない条件は $D < 0$ です。

$D = (-3)^2 - 4(2)(a - 1) = 9 - 8(a - 1) = 9 - 8a + 8 = 17 - 8a < 0$

$-8a < -17$

$8a > 17$

$a > \frac{17}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, -1$

(2) $a > 3$

(3) $a \leq \frac{1}{4}$

(4) $a > \frac{17}{8}$