与えられた式 $(\log_2 3 + \log_4 9)(\log_3 4 + \log_9 2)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(\log_2 3 + \log_4 9)(\log_3 4 + \log_9 2)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を変換します。

$\log_4 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3^2}{\log_2 2^2} = \frac{2\log_2 3}{2} = \log_2 3$

$\log_9 2 = \frac{\log_3 2}{\log_3 9} = \frac{\log_3 2}{\log_3 3^2} = \frac{\log_3 2}{2} = \frac{1}{2}\log_3 2$

$\log_3 4 = \log_3 2^2 = 2\log_3 2$

したがって、

$\log_2 3 + \log_4 9 = \log_2 3 + \log_2 3 = 2\log_2 3$

$\log_3 4 + \log_9 2 = 2\log_3 2 + \frac{1}{2}\log_3 2 = \frac{5}{2}\log_3 2$

よって、

$(\log_2 3 + \log_4 9)(\log_3 4 + \log_9 2) = (2\log_2 3)(\frac{5}{2}\log_3 2) = 5(\log_2 3)(\log_3 2)$

ここで、底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いると、$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ であるから、$(\log_2 3)(\log_3 2) = (\log_2 3)\frac{1}{\log_2 3} = 1$ となる。

したがって、

$5(\log_2 3)(\log_3 2) = 5(1) = 5$

3. 最終的な答え

5