$3^x - 3^{-x} = 1$ のとき、$9^x + 9^{-x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$3^x - 3^{-x} = 1$ のとき、$9^x + 9^{-x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$9^x$ と $9^{-x}$ を $3^x$ と $3^{-x}$ で表します。

$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$

$9^{-x} = (3^2)^{-x} = (3^{-x})^2$

したがって、$9^x + 9^{-x} = (3^x)^2 + (3^{-x})^2$となります。

次に、$3^x - 3^{-x} = 1$ の両辺を2乗します。

$(3^x - 3^{-x})^2 = 1^2$

$(3^x)^2 - 2(3^x)(3^{-x}) + (3^{-x})^2 = 1$

$(3^x)^2 - 2(3^{x-x}) + (3^{-x})^2 = 1$

$(3^x)^2 - 2(3^0) + (3^{-x})^2 = 1$

$(3^x)^2 - 2(1) + (3^{-x})^2 = 1$

$(3^x)^2 - 2 + (3^{-x})^2 = 1$

$(3^x)^2 + (3^{-x})^2 = 1 + 2$

$(3^x)^2 + (3^{-x})^2 = 3$

よって、$9^x + 9^{-x} = (3^x)^2 + (3^{-x})^2 = 3$

3. 最終的な答え

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