与えられた3つの行列について、それぞれ固有ベクトル、固有値、固有空間を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列について、それぞれ固有ベクトル、固有値、固有空間を求めます。

2. 解き方の手順

各行列 $A$ に対して、以下の手順で計算を行います。

(1) 固有方程式を解いて固有値を求める。

固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで、$I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値を表します。

(2) 固有値 $\lambda$ ごとに、$(A - \lambda I)v = 0$ を満たす固有ベクトル $v$ を求める。

(3) 各固有値に対応する固有空間は、その固有値に対応する固有ベクトル全体の集合で与えられます。

それでは、各行列について計算を行います。

1. $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

(1) 固有方程式:

$\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{bmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = 3$ です。

(2) 固有ベクトル:

- $\lambda_1 = 1$ のとき:

$(A - \lambda_1 I)v = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x + y = 0$ より、$y = -x$。固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ (またはその定数倍) となります。

- $\lambda_2 = 3$ のとき:

$(A - \lambda_2 I)v = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-x + y = 0$ より、$y = x$。固有ベクトルは $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ (またはその定数倍) となります。

(3) 固有空間:

- $\lambda_1 = 1$ に対応する固有空間は、$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ で張られる空間です。

- $\lambda_2 = 3$ に対応する固有空間は、$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ で張られる空間です。

2. $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$

(1) 固有方程式:

$\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} -1 - \lambda & 1 \\ -4 & 2 - \lambda \end{bmatrix} = (-1 - \lambda)(2 - \lambda) - (-4) = \lambda^2 - \lambda + 2 = 0$

固有値は $\lambda_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$ です。

(2) 固有ベクトル:

- $\lambda_1 = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}$ のとき:

$(A - \lambda_1 I)v = \begin{bmatrix} -1 - \frac{1 + i\sqrt{7}}{2} & 1 \\ -4 & 2 - \frac{1 + i\sqrt{7}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -\frac{3 + i\sqrt{7}}{2} & 1 \\ -4 & \frac{3 - i\sqrt{7}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$(-\frac{3 + i\sqrt{7}}{2})x + y = 0$ より、$y = (\frac{3 + i\sqrt{7}}{2})x$。固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 + i\sqrt{7} \end{bmatrix}$ (またはその定数倍) となります。

- $\lambda_2 = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$ のとき:

同様に計算して、$v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 - i\sqrt{7} \end{bmatrix}$ (またはその定数倍) となります。

(3) 固有空間:

- $\lambda_1 = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}$ に対応する固有空間は、$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 + i\sqrt{7} \end{bmatrix}$ で張られる空間です。

- $\lambda_2 = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$ に対応する固有空間は、$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 - i\sqrt{7} \end{bmatrix}$ で張られる空間です。

3. $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}$

(1) 固有方程式:

$\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 4 - \lambda & 2 \\ 2 & 7 - \lambda \end{bmatrix} = (4 - \lambda)(7 - \lambda) - 4 = \lambda^2 - 11\lambda + 24 = (\lambda - 3)(\lambda - 8) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 3$ と $\lambda_2 = 8$ です。

(2) 固有ベクトル:

- $\lambda_1 = 3$ のとき:

$(A - \lambda_1 I)v = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x + 2y = 0$ より、$x = -2y$。固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ (またはその定数倍) となります。

- $\lambda_2 = 8$ のとき:

$(A - \lambda_2 I)v = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-4x + 2y = 0$ より、$y = 2x$。固有ベクトルは $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ (またはその定数倍) となります。

(3) 固有空間:

- $\lambda_1 = 3$ に対応する固有空間は、$\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ で張られる空間です。

- $\lambda_2 = 8$ に対応する固有空間は、$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ で張られる空間です。

3. 最終的な答え

1. $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

* 固有値: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 3$

* 固有ベクトル: $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

* 固有空間: $\text{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$, $\text{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

2. $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$

* 固有値: $\lambda_1 = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}$, $\lambda_2 = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$

* 固有ベクトル: $v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 + i\sqrt{7} \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 - i\sqrt{7} \end{bmatrix}$

* 固有空間: $\text{span}\left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 3 + i\sqrt{7} \end{bmatrix} \right\}$, $\text{span}\left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 3 - i\sqrt{7} \end{bmatrix} \right\}$

3. $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}$

* 固有値: $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 8$

* 固有ベクトル: $v_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

* 固有空間: $\text{span}\left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$, $\text{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \right\}$