(1) $a+b+c = 0$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立つことを示す。 (2) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ のとき、$(ax + by)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

(1) $a+b+c = 0$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立つことを示す。

(2) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ のとき、$(ax + by)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1) $a+b+c = 0$ より、$c = -(a+b)$ である。これを、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ に代入して計算する。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = a^3 + b^3 + (-a-b)^3 - 3ab(-a-b)$

$= a^3 + b^3 - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3a^2b + 3ab^2$

$= a^3 + b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = 0$

したがって、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立つ。

(2) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ より、$x = ak, y = bk$ とおくことができる。

$(ax + by)^2$ と $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ をそれぞれ計算する。

$(ax + by)^2 = (a(ak) + b(bk))^2 = (a^2k + b^2k)^2 = (k(a^2 + b^2))^2 = k^2(a^2 + b^2)^2$

$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (a^2 + b^2)((ak)^2 + (bk)^2) = (a^2 + b^2)(a^2k^2 + b^2k^2) = (a^2 + b^2)(k^2(a^2 + b^2)) = k^2(a^2 + b^2)^2$

よって、$(ax + by)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a+b+c = 0$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立つ。

(2) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ のとき、$(ax + by)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ が成り立つ。