2次式 $x^2 - 3x - 2$ を複素数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

2次式 $x^2 - 3x - 2$ を複素数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - 3x - 2 = 0$ の解を求めます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = -3$, $c = -2$ なので、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

したがって、2次方程式の解は $x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ と $x = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ です。

2次式 $ax^2 + bx + c$ は、解 $\alpha, \beta$ を用いて $a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できるので、

$x^2 - 3x - 2 = (x - \frac{3 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$

3. 最終的な答え

$(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$