数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ が以下の漸化式で定義されている。 $a_1 = 2$ $b_1 = -1$ $a_{n+1} = 6a_n + 2b_n$ $b_{n+1} = 3a_n + 5b_n$ (n=1, 2, 3, ...) $a_{n+1} + \alpha b_{n+1} = \beta(a_n + \alpha b_n)$ を満たす実数 $\alpha, \beta$ を求め、数列 $\{a_n - b_n\}$ および $\{a_n + \alpha b_n\}$ の一般項を求め、$a_n$ と $b_n$ の一般項を求める問題。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ が以下の漸化式で定義されている。

$a_1 = 2$

$b_1 = -1$

$a_{n+1} = 6a_n + 2b_n$

$b_{n+1} = 3a_n + 5b_n$ (n=1, 2, 3, ...)

$a_{n+1} + \alpha b_{n+1} = \beta(a_n + \alpha b_n)$ を満たす実数 $\alpha, \beta$ を求め、数列 $\{a_n - b_n\}$ および $\{a_n + \alpha b_n\}$ の一般項を求め、$a_n$ と $b_n$ の一般項を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} + \alpha b_{n+1} = \beta(a_n + \alpha b_n)$ に $a_{n+1} = 6a_n + 2b_n$ と $b_{n+1} = 3a_n + 5b_n$ を代入する。

$6a_n + 2b_n + \alpha(3a_n + 5b_n) = \beta(a_n + \alpha b_n)$

$(6+3\alpha)a_n + (2+5\alpha)b_n = \beta a_n + \alpha \beta b_n$

係数を比較して、

$6 + 3\alpha = \beta$

$2 + 5\alpha = \alpha \beta$

$\beta = 6 + 3\alpha$ を $2 + 5\alpha = \alpha \beta$ に代入すると、

$2 + 5\alpha = \alpha(6 + 3\alpha)$

$2 + 5\alpha = 6\alpha + 3\alpha^2$

$3\alpha^2 + \alpha - 2 = 0$

$(3\alpha - 2)(\alpha + 1) = 0$

$\alpha = -1, \frac{2}{3}$

$\alpha = -1$ のとき、$\beta = 6 + 3(-1) = 3$

$\alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\beta = 6 + 3(\frac{2}{3}) = 8$

よって、$(\alpha, \beta) = (-1, 3), (\frac{2}{3}, 8)$

$\alpha = -1$ の場合、

$a_{n+1} - b_{n+1} = 3(a_n - b_n)$

$a_1 - b_1 = 2 - (-1) = 3$

$a_n - b_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$

$\alpha = \frac{2}{3}$ の場合、

$a_{n+1} + \frac{2}{3} b_{n+1} = 8(a_n + \frac{2}{3} b_n)$

$a_1 + \frac{2}{3} b_1 = 2 + \frac{2}{3}(-1) = \frac{4}{3}$

$a_n + \frac{2}{3} b_n = \frac{4}{3} \cdot 8^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 8^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot 2^{2} \cdot (2^3)^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot 2^{3n-1}$

$a_n - b_n = 3^n$ より、$b_n = a_n - 3^n$

$a_n + \frac{2}{3} (a_n - 3^n) = \frac{1}{3} \cdot 2^{3n-1}$

$3a_n + 2a_n - 2 \cdot 3^n = 2^{3n-1}$

$5a_n = 2^{3n-1} + 2 \cdot 3^n$

$a_n = \frac{1}{5}(2^{3n-1} + 2 \cdot 3^n) = \frac{1}{5}( \frac{1}{2} 8^n + 2 \cdot 3^n )$

$b_n = a_n - 3^n = \frac{1}{5}(\frac{1}{2} 8^n + 2 \cdot 3^n) - 3^n = \frac{1}{5}(\frac{1}{2} 8^n - 3 \cdot 3^n) = \frac{1}{10} (8^n - 6 \cdot 3^n)$

3. 最終的な答え

$(\alpha, \beta) = (-1, 3), (\frac{2}{3}, 8)$

$a_n - b_n = 3^n$

$a_n + \frac{2}{3} b_n = \frac{1}{3} 2^{3n-1}$

$b_n = \frac{1}{10}(8^n - 6 \cdot 3^n)$

$a_n = \frac{1}{10} (8^n + 4 \cdot 3^n)$