(1) $a+b+c=0$ のとき、$a^3+b^3+c^3 = 3abc$ が成り立つことを示す。 (2) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ のとき、$(ax+by)^2 = (a^2+b^2)(x^2+y^2)$ が成り立つことを示す。

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

(1) $a+b+c=0$ のとき、$a^3+b^3+c^3 = 3abc$ が成り立つことを示す。

(2) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ のとき、$(ax+by)^2 = (a^2+b^2)(x^2+y^2)$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1)

$a+b+c = 0$ より、$c = -(a+b)$ である。

これを $a^3 + b^3 + c^3$ に代入すると、

$a^3 + b^3 + c^3 = a^3 + b^3 + (-a-b)^3 = a^3 + b^3 - (a+b)^3 = a^3 + b^3 - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) = -3a^2b - 3ab^2 = -3ab(a+b)$

ここで、$a+b = -c$ より、

$-3ab(a+b) = -3ab(-c) = 3abc$

したがって、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立つ。

(2)

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ より、$bx = ay$ が成り立つ。つまり、$bx - ay = 0$

与えられた式の左辺は、$(ax+by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2$

与えられた式の右辺は、$(a^2+b^2)(x^2+y^2) = a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2$

右辺から左辺を引くと、

$a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2 - (a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2) = a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2 = (ay-bx)^2$

$bx - ay = 0$ より、$ay - bx = 0$。 よって、$(ay - bx)^2 = 0$

したがって、$(ax+by)^2 = (a^2+b^2)(x^2+y^2)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a^3+b^3+c^3 = 3abc$

(2) $(ax+by)^2 = (a^2+b^2)(x^2+y^2)$