与えられた数式を展開する問題です。具体的には、以下の３つの式を展開します。 (2) $(a+b+c)^2$ (3) $(a-b-6)^2$ (4) $(a+b+3)(a-b+3)$

1. 問題の内容

与えられた数式を展開する問題です。具体的には、以下の３つの式を展開します。

(2) $(a+b+c)^2$

(3) $(a-b-6)^2$

(4) $(a+b+3)(a-b+3)$

2. 解き方の手順

(2) $(a+b+c)^2$ の展開

これは $(a+b+c)(a+b+c)$ を展開することと同じです。分配法則を用いて展開します。

$(a+b+c)^2 = a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c)$

$= a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2$

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $(a-b-6)^2$ の展開

これも $(a-b-6)(a-b-6)$ を展開します。

$(a-b-6)^2 = a(a-b-6) - b(a-b-6) - 6(a-b-6)$

$= a^2 - ab - 6a - ba + b^2 + 6b - 6a + 6b + 36$

$= a^2 + b^2 + 36 - 2ab - 12a + 12b$

(4) $(a+b+3)(a-b+3)$ の展開

この式は $(A+b)(A-b)$ の形と見ることができます。ただし、$A = a+3$ とします。

$(a+b+3)(a-b+3) = (a+3+b)(a+3-b) = (A+b)(A-b) = A^2 - b^2$

$A^2 = (a+3)^2 = a^2 + 6a + 9$

したがって、

$(a+b+3)(a-b+3) = (a+3)^2 - b^2 = a^2 + 6a + 9 - b^2$

$= a^2 - b^2 + 6a + 9$

3. 最終的な答え

(2) $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $(a-b-6)^2 = a^2 + b^2 - 2ab - 12a + 12b + 36$

(4) $(a+b+3)(a-b+3) = a^2 - b^2 + 6a + 9$