（ア）実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 1$ を満たすとき、$x^2 + 4y$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を答える。 （イ）実数 $x, y$ が $x^2 - 2xy + 2y^2 = 8$ を満たすとき、$x + y$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

（ア）実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 1$ を満たすとき、$x^2 + 4y$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を答える。

（イ）実数 $x, y$ が $x^2 - 2xy + 2y^2 = 8$ を満たすとき、$x + y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

（ア）

$x^2 + y^2 = 1$ より、$x^2 = 1 - y^2$ であるから、$x^2 + 4y = 1 - y^2 + 4y = -(y^2 - 4y) + 1 = -(y^2 - 4y + 4) + 4 + 1 = -(y-2)^2 + 5$ となる。

$y^2 \leq 1$ より、 $-1 \leq y \leq 1$ なので、$y=1$ のとき最大値 $-(1-2)^2+5 = 4$ をとる。このとき、$x^2 = 1-1^2 = 0$ より、$x=0$ である。

また、$y=-1$ のとき最小値 $-(-1-2)^2 + 5 = -9+5 = -4$ をとる。このとき、$x^2 = 1-(-1)^2 = 0$ より、$x=0$ である。

（イ）

$x+y = k$ とおくと、$x = k - y$ となる。

$x^2 - 2xy + 2y^2 = 8$ に代入して、

$(k-y)^2 - 2(k-y)y + 2y^2 = 8$

$k^2 - 2ky + y^2 - 2ky + 2y^2 + 2y^2 = 8$

$5y^2 - 4ky + k^2 - 8 = 0$

$y$ は実数なので、この二次方程式の判別式 $D$ は $D \geq 0$ を満たす。

$D = (-4k)^2 - 4(5)(k^2 - 8) = 16k^2 - 20k^2 + 160 = -4k^2 + 160 \geq 0$

$4k^2 \leq 160$

$k^2 \leq 40$

$-\sqrt{40} \leq k \leq \sqrt{40}$

$-2\sqrt{10} \leq k \leq 2\sqrt{10}$

よって、$x+y$ の最大値は $2\sqrt{10}$、最小値は $-2\sqrt{10}$ である。

3. 最終的な答え

（ア）$(x, y) = (0, 1)$ のとき最大値 $4$ をとり、$(x, y) = (0, -1)$ のとき最小値 $-4$ をとる。

（イ）$x+y$ の最大値は $2\sqrt{10}$、最小値は $-2\sqrt{10}$ である。