問題は、与えられたベクトルに関する等式を満たす定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。2つの小問があります。 (1) $\begin{bmatrix} 3 \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a+b \\ 4a+9 \end{bmatrix}$ (2) $a\begin{bmatrix} 5 \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ b-6 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

問題は、与えられたベクトルに関する等式を満たす定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。2つの小問があります。

(1) $\begin{bmatrix} 3 \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a+b \\ 4a+9 \end{bmatrix}$

(2) $a\begin{bmatrix} 5 \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ b-6 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

ベクトルの等式から、以下の2つの式が得られます。

$3 = 2a + b$ (1)

$b = 4a + 9$ (2)

式(2)を式(1)に代入すると、

$3 = 2a + (4a + 9)$

$3 = 6a + 9$

$-6 = 6a$

$a = -1$

$a=-1$を式(2)に代入すると、

$b = 4(-1) + 9$

$b = -4 + 9$

$b = 5$

(2)

ベクトルの定数倍に関する等式から、以下の2つの式が得られます。

$5a = 15$ (3)

$ab = b - 6$ (4)

式(3)より、

$a = \frac{15}{5} = 3$

$a = 3$ を式(4)に代入すると、

$3b = b - 6$

$2b = -6$

$b = -3$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1, b = 5$

(2) $a = 3, b = -3$