与えられた不等式は $(\frac{1}{2})^{x-1} \geq (\sqrt{2})^x$ です。この不等式を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式は $(\frac{1}{2})^{x-1} \geq (\sqrt{2})^x$ です。この不等式を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺の底を2に統一します。

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$ であり、 $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ であることに注意します。

したがって、与えられた不等式は次のように書き換えられます。

$(2^{-1})^{x-1} \geq (2^{\frac{1}{2}})^x$

指数の性質 $(a^m)^n = a^{mn}$ を用いると、

$2^{-(x-1)} \geq 2^{\frac{1}{2}x}$

$2^{-x+1} \geq 2^{\frac{1}{2}x}$

底が2で1より大きいので、指数部分の大小関係は不等号の向きを変えずに保たれます。したがって、

$-x+1 \geq \frac{1}{2}x$

両辺に2を掛けると、

$-2x + 2 \geq x$

$2 \geq 3x$

$3x \leq 2$

$x \leq \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$x \leq \frac{2}{3}$