$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 + x^2 + ax + b = 0$ が $1 + i$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求める。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 + x^2 + ax + b = 0$ が $1 + i$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求める。

2. 解き方の手順

まず、$1+i$ が解であることから、共役複素数である $1-i$ も解になる。なぜなら、$a, b$ が実数であるから。

したがって、$x^3 + x^2 + ax + b = 0$ は $(x - (1+i))(x - (1-i)) = (x - 1 - i)(x - 1 + i) = (x-1)^2 - i^2 = x^2 - 2x + 1 - (-1) = x^2 - 2x + 2$ で割り切れる。

筆算、もしくは組み立て除法によって割り算を行う。

$x^3 + x^2 + ax + b$ を $x^2 - 2x + 2$ で割ると、

$x^3 + x^2 + ax + b = (x^2 - 2x + 2)(x + 3) + (a + 4)x + (b - 6)$ となる。

割り切れるためには、余りが $0$ でなければならないので、

$(a + 4)x + (b - 6) = 0$ がすべての $x$ で成り立つ必要がある。したがって、

$a + 4 = 0$ かつ $b - 6 = 0$

これより、$a = -4$ かつ $b = 6$ となる。

よって、3次方程式は $x^3 + x^2 - 4x + 6 = 0$ となる。

$x^3 + x^2 - 4x + 6 = (x^2 - 2x + 2)(x + 3) = 0$ より、残りの解は $x + 3 = 0$ から $x = -3$ と求まる。

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = 6$

他の解は $x = 1-i, -3$