与えられた方程式は、絶対値を含む方程式で、 $|2x| + |x-2| = 6$ を満たす $x$ の値を求める問題です。

## (1) の問題

1. 問題の内容

与えられた方程式は、絶対値を含む方程式で、 $|2x| + |x-2| = 6$ を満たす $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む方程式なので、$x$ の値の範囲によって場合分けをして考えます。

絶対値の中身が正になるか負になるかで場合分けします。

ここでは、$2x$ と $x-2$ の符号が変わる $x=0$ と $x=2$ を境に、$x$ の範囲を3つに分けます。

(i) $x < 0$ のとき、 $2x < 0$ かつ $x - 2 < 0$ なので、 $|2x| = -2x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ となります。

よって、方程式は $-2x -x + 2 = 6$ となります。

これを解くと、 $-3x = 4$ より $x = -\frac{4}{3}$ となります。

これは $x < 0$ を満たすので解です。

(ii) $0 \leq x < 2$ のとき、$2x \geq 0$ かつ $x - 2 < 0$ なので、 $|2x| = 2x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ となります。

よって、方程式は $2x -x + 2 = 6$ となります。

これを解くと、$x = 4$ となります。

これは $0 \leq x < 2$ を満たさないので解ではありません。

(iii) $x \geq 2$ のとき、$2x > 0$ かつ $x - 2 \geq 0$ なので、 $|2x| = 2x$ かつ $|x-2| = x-2$ となります。

よって、方程式は $2x + x - 2 = 6$ となります。

これを解くと、$3x = 8$ より $x = \frac{8}{3}$ となります。

これは $x \geq 2$ を満たすので解です。

3. 最終的な答え

$x = -\frac{4}{3}, \frac{8}{3}$

## (2) の問題

1. 問題の内容

与えられた不等式は、絶対値を含む不等式で、 $|2x| + |x-2| < 6$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)と同様に、絶対値を含む不等式なので、$x$ の値の範囲によって場合分けをして考えます。

ここでは、$2x$ と $x-2$ の符号が変わる $x=0$ と $x=2$ を境に、$x$ の範囲を3つに分けます。

(i) $x < 0$ のとき、 $2x < 0$ かつ $x - 2 < 0$ なので、 $|2x| = -2x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ となります。

よって、不等式は $-2x -x + 2 < 6$ となります。

これを解くと、 $-3x < 4$ より $x > -\frac{4}{3}$ となります。

$x < 0$ と $x > -\frac{4}{3}$ の共通範囲は $-\frac{4}{3} < x < 0$ です。

(ii) $0 \leq x < 2$ のとき、$2x \geq 0$ かつ $x - 2 < 0$ なので、 $|2x| = 2x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ となります。

よって、不等式は $2x -x + 2 < 6$ となります。

これを解くと、$x < 4$ となります。

$0 \leq x < 2$ と $x < 4$ の共通範囲は $0 \leq x < 2$ です。

(iii) $x \geq 2$ のとき、$2x > 0$ かつ $x - 2 \geq 0$ なので、 $|2x| = 2x$ かつ $|x-2| = x-2$ となります。

よって、不等式は $2x + x - 2 < 6$ となります。

これを解くと、$3x < 8$ より $x < \frac{8}{3}$ となります。

$x \geq 2$ と $x < \frac{8}{3}$ の共通範囲は $2 \leq x < \frac{8}{3}$ です。

(i), (ii), (iii)の結果を合わせると、 $-\frac{4}{3} < x < 0$, $0 \leq x < 2$, $2 \leq x < \frac{8}{3}$ なので、

$-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$