自然数 $k$ に対して、数列 $\{a_n\}$ の最初の $k$ 項の和を $T_1$、次の $k$ 項の和を $T_2$、その次の $k$ 項の和を $T_3$ と定義する。 (1) 数列 $\{a_n\}$ が等比数列であり、$k=4$、$T_1 = 5$、$T_2 = 80$ のとき、$\{a_n\}$ の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。 (2) 数列 $\{a_n\}$ が等差数列ならば、数列 $\{T_n\}$ も等差数列であることを証明せよ。

1. 問題の内容

自然数 $k$ に対して、数列 $\{a_n\}$ の最初の $k$ 項の和を $T_1$、次の $k$ 項の和を $T_2$、その次の $k$ 項の和を $T_3$ と定義する。

(1) 数列 $\{a_n\}$ が等比数列であり、$k=4$、$T_1 = 5$、$T_2 = 80$ のとき、$\{a_n\}$ の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が等差数列ならば、数列 $\{T_n\}$ も等差数列であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とおく。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比である。

$T_1$ は初めの $k$ 項の和なので、$T_1 = \sum_{i=1}^k ar^{i-1} = a \sum_{i=1}^k r^{i-1} = a \frac{1-r^k}{1-r}$ となる。

$T_2$ は $k+1$ 項目から $2k$ 項までの和なので、$T_2 = \sum_{i=k+1}^{2k} ar^{i-1} = ar^k \sum_{i=1}^k r^{i-1} = ar^k \frac{1-r^k}{1-r}$ となる。

$T_1 = 5$、$T_2 = 80$、$k=4$ より、

$T_1 = a \frac{1-r^4}{1-r} = 5$

$T_2 = ar^4 \frac{1-r^4}{1-r} = 80$

$T_2 / T_1 = r^4 = 80/5 = 16$ となる。$r$ は実数なので、$r = 2$ または $r = -2$ となる。

(i) $r = 2$ のとき、$a \frac{1-2^4}{1-2} = a \frac{-15}{-1} = 15a = 5$ より、$a = \frac{1}{3}$。

よって、$a_n = \frac{1}{3} \cdot 2^{n-1}$。

(ii) $r = -2$ のとき、$a \frac{1-(-2)^4}{1-(-2)} = a \frac{-15}{3} = -5a = 5$ より、$a = -1$。

よって、$a_n = -(-2)^{n-1}$。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が等差数列であるとき、$a_n = a + (n-1)d$ とおく。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差である。

$T_n$ は $nk-k+1$ 項目から $nk$ 項目までの和なので、$T_n = \sum_{i=nk-k+1}^{nk} a + (i-1)d = \sum_{i=1}^k a + (nk-k+i-1)d = \sum_{i=1}^k (a + (nk-k-1)d + id) = ka + k(nk-k-1)d + \frac{k(k+1)}{2}d = ka + (nk^2 - k^2 -k)d + \frac{k^2+k}{2}d = ka + (nk^2 - \frac{k^2}{2} - \frac{k}{2} )d = ka + k^2(n-\frac{1}{2} - \frac{1}{2k})d$

$T_n = ka + k^2d(n - \frac{1}{2} - \frac{1}{2k})$

$T_{n+1} = ka + k^2d(n+1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2k})$

$T_{n+1} - T_n = ka + k^2d(n+1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2k}) - (ka + k^2d(n - \frac{1}{2} - \frac{1}{2k})) = k^2d$

よって、$T_{n+1} - T_n$ は $n$ によらない一定の値なので、$\{T_n\}$ は等差数列である。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{1}{3} \cdot 2^{n-1}$ または $a_n = -(-2)^{n-1}$

(2) 数列 $\{a_n\}$ が等差数列ならば、数列 $\{T_n\}$ も等差数列である (証明終わり)。