$(a+2)^3$ を展開しなさい。

1. 問題の内容

$(a+2)^3$ を展開しなさい。

2. 解き方の手順

$(a+2)^3$ を展開するために、二項定理またはパスカルの三角形を利用することができます。ここでは、二項定理を用いて展開します。

二項定理は、$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{n-k}y^k$ と表されます。

この式に、$x=a$, $y=2$, $n=3$ を代入すると、以下のようになります。

$(a+2)^3 = \binom{3}{0}a^3 2^0 + \binom{3}{1}a^2 2^1 + \binom{3}{2}a^1 2^2 + \binom{3}{3}a^0 2^3$

二項係数を計算します。

$\binom{3}{0} = 1$

$\binom{3}{1} = 3$

$\binom{3}{2} = 3$

$\binom{3}{3} = 1$

これらの値を代入すると、

$(a+2)^3 = 1 \cdot a^3 \cdot 1 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 8$

$(a+2)^3 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8$

3. 最終的な答え

$a^3 + 6a^2 + 12a + 8$