与えられた不等式 $ |2x| + |x-2| < 6 $ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|2x| + |x-2| < 6$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けをして解きます。

(i) $x < 0$ のとき

$|2x| = -2x$ および $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ なので、不等式は

$-2x - x + 2 < 6$

$-3x < 4$

$x > -\frac{4}{3}$

したがって、 $-\frac{4}{3} < x < 0$

(ii) $0 \leq x < 2$ のとき

$|2x| = 2x$ および $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ なので、不等式は

$2x - x + 2 < 6$

$x < 4$

したがって、$0 \leq x < 2$

(iii) $x \geq 2$ のとき

$|2x| = 2x$ および $|x-2| = x-2$ なので、不等式は

$2x + x - 2 < 6$

$3x < 8$

$x < \frac{8}{3}$

したがって、$2 \leq x < \frac{8}{3}$

(i), (ii), (iii) の場合を合わせると、解は $-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$