複素数の分数を $a+bi$ の形で表す問題です。具体的には、(1) $\frac{2+3i}{1+2i}$ を計算し、(2) $\frac{5-2i}{3+4i}$ を計算します。

1. 問題の内容

複素数の分数を $a+bi$ の形で表す問題です。具体的には、(1) $\frac{2+3i}{1+2i}$ を計算し、(2) $\frac{5-2i}{3+4i}$ を計算します。

2. 解き方の手順

**(1) $\frac{2+3i}{1+2i}$ の計算**

分母と分子に、分母の共役複素数である $1-2i$ を掛けます。

$\frac{2+3i}{1+2i} = \frac{(2+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

分子を展開します。

$(2+3i)(1-2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2 = 2 - i - 6i^2$

分母を展開します。

$(1+2i)(1-2i) = 1 - 2i + 2i - 4i^2 = 1 - 4i^2$

$i^2 = -1$ なので、

分子 $= 2 - i - 6(-1) = 2 - i + 6 = 8 - i$

分母 $= 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5$

したがって、

$\frac{2+3i}{1+2i} = \frac{8-i}{5} = \frac{8}{5} - \frac{1}{5}i$

**(2) $\frac{5-2i}{3+4i}$ の計算**

分母と分子に、分母の共役複素数である $3-4i$ を掛けます。

$\frac{5-2i}{3+4i} = \frac{(5-2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}$

分子を展開します。

$(5-2i)(3-4i) = 15 - 20i - 6i + 8i^2 = 15 - 26i + 8i^2$

分母を展開します。

$(3+4i)(3-4i) = 9 - 12i + 12i - 16i^2 = 9 - 16i^2$

$i^2 = -1$ なので、

分子 $= 15 - 26i + 8(-1) = 15 - 26i - 8 = 7 - 26i$

分母 $= 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25$

したがって、

$\frac{5-2i}{3+4i} = \frac{7-26i}{25} = \frac{7}{25} - \frac{26}{25}i$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2+3i}{1+2i} = \frac{8}{5} - \frac{1}{5}i$

(2) $\frac{5-2i}{3+4i} = \frac{7}{25} - \frac{26}{25}i$