与えられた式 $x^4 + 6x^2 - 27$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 + 6x^2 - 27$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = y$ とおいて、与えられた式を $y$ の2次式に変換します。

$x^4 + 6x^2 - 27 = (x^2)^2 + 6(x^2) - 27$

$y = x^2$ とすると、

$y^2 + 6y - 27$ となります。

次に、この2次式を因数分解します。

$y^2 + 6y - 27 = (y + 9)(y - 3)$

ここで、$y$ を $x^2$ に戻します。

$(y + 9)(y - 3) = (x^2 + 9)(x^2 - 3)$

したがって、$x^4 + 6x^2 - 27 = (x^2 + 9)(x^2 - 3)$となります。

$x^2 - 3$ は $(\sqrt{3})^2$ と見なせるので、$x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$と因数分解できます。

$x^2 + 9$ は $x^2 - (3i)^2$ と見なせるので、 $x^2 - (3i)^2 = (x + 3i)(x - 3i)$と因数分解できます。

したがって、因数分解は $(x^2 + 9)(x^2 - 3)$もしくは $(x + 3i)(x - 3i)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 + 9)(x^2 - 3)$

または

$(x + 3i)(x - 3i)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$