問題は、与えられた式を計算することです。式は以下の通りです。 $\frac{1}{2} \log_{2} 27 + \log_{4} \frac{1}{36}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた式を計算することです。式は以下の通りです。

$\frac{1}{2} \log_{2} 27 + \log_{4} \frac{1}{36}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\log_{2} 27 = \log_{2} 3^3 = 3 \log_{2} 3$

$\frac{1}{2} \log_{2} 27 = \frac{3}{2} \log_{2} 3$

次に、$\log_{4} \frac{1}{36}$ を整理します。

$\log_{4} \frac{1}{36} = \log_{4} 36^{-1} = -\log_{4} 36 = -\log_{4} (4 \times 9) = -\log_{4} 4 - \log_{4} 9 = -1 - \log_{4} 3^2 = -1 - 2 \log_{4} 3$

底の変換公式 $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ を用いて底を2に変換します。

$\log_{4} 3 = \frac{\log_{2} 3}{\log_{2} 4} = \frac{\log_{2} 3}{2}$

よって、

$-1 - 2 \log_{4} 3 = -1 - 2 \times \frac{\log_{2} 3}{2} = -1 - \log_{2} 3$

したがって、与えられた式は

$\frac{3}{2} \log_{2} 3 - 1 - \log_{2} 3 = \frac{3}{2} \log_{2} 3 - \log_{2} 3 - 1 = \frac{1}{2} \log_{2} 3 - 1 = \log_{2} 3^{\frac{1}{2}} - 1 = \log_{2} \sqrt{3} - \log_{2} 2 = \log_{2} \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\log_{2} \frac{\sqrt{3}}{2}$