$\theta$についての方程式 $3\cos{4\theta} = 2\sin^2{\theta}-3$ が与えられています。$x = \cos{2\theta}$ とおくと、この方程式は $x$ の2次方程式に書き換えられます。 (1) この2次方程式を求め、 (2) その解を求め、 (3) $0 \le \theta \le \frac{3}{2}\pi$ の範囲における $\theta$ の解の個数とそのうち最大のものを求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$についての方程式 $3\cos{4\theta} = 2\sin^2{\theta}-3$ が与えられています。$x = \cos{2\theta}$ とおくと、この方程式は $x$ の2次方程式に書き換えられます。

(1) この2次方程式を求め、

(2) その解を求め、

(3) $0 \le \theta \le \frac{3}{2}\pi$ の範囲における $\theta$ の解の個数とそのうち最大のものを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $3\cos{4\theta} = 2\sin^2{\theta}-3$ を $x = \cos{2\theta}$ を用いて書き換えます。

まず、$\cos{4\theta} = 2\cos^2{2\theta} - 1 = 2x^2 - 1$ および $\sin^2{\theta} = \frac{1-\cos{2\theta}}{2} = \frac{1-x}{2}$ であるから、与えられた方程式は次のようになります。

$3(2x^2 - 1) = 2(\frac{1-x}{2}) - 3$

$6x^2 - 3 = 1 - x - 3$

$6x^2 + x - 1 = 0$

したがって、ア=6、イ=1です。

(2) 2次方程式 $6x^2 + x - 1 = 0$ を解きます。

$(2x+1)(3x-1) = 0$ より、

$x = -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$

したがって、ウ=-1、エ=2、オカ=1、キ=3です。

(3) $x = \cos{2\theta}$ であるから、

$\cos{2\theta} = -\frac{1}{2}$ または $\cos{2\theta} = \frac{1}{3}$

$0 \le \theta \le \frac{3}{2}\pi$ より、$0 \le 2\theta \le 3\pi$ です。

$\cos{2\theta} = -\frac{1}{2}$ のとき、

$2\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi, \frac{8}{3}\pi$

$\theta = \frac{1}{3}\pi, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

$\cos{2\theta} = \frac{1}{3}$ のとき、

$2\theta = \alpha, 2\pi-\alpha, 2\pi + \alpha$ ($\alpha$ は $\cos\alpha = \frac{1}{3}$ を満たす、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ の角)

$\theta = \frac{\alpha}{2}, \pi-\frac{\alpha}{2}, \pi + \frac{\alpha}{2}$

したがって、$\theta$ の解は6個あります。最大のものは $\frac{4}{3}\pi$ より大きいので、$\pi + \frac{\alpha}{2}$ です。$\cos 2\theta = \frac{1}{3} > 0$であることに注意すると、 $0 \le \theta \le \frac{3\pi}{2}$ の範囲で$\cos 2\theta = \frac{1}{3}$の解は３つ存在し、

$\frac{\alpha}{2}, \pi-\frac{\alpha}{2}, \pi+\frac{\alpha}{2}$

$\cos 2\theta = -\frac{1}{2}$ の解は

$\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

合計6個存在します。

最大値は $\frac{4\pi}{3}$ではない可能性があります。$\alpha$は$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$を満たすので

$0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$

$\pi < \pi + \frac{\alpha}{2} < \frac{5\pi}{4}$

また、$\frac{4\pi}{3} = \frac{16\pi}{12}$ であり、$\frac{5\pi}{4} = \frac{15\pi}{12}$ であるので、

$\pi + \frac{\alpha}{2} < \frac{4\pi}{3}$

したがって、最大値は $\frac{4\pi}{3}$ です。

したがって、ク=6、ケ=4、コ=3です。

3. 最終的な答え

ア=6

イ=1

ウ=-1

エ=2

オカ=1

キ=3

ク=6

ケ=4

コ=3

$\theta = \frac{4}{3}\pi$