$\theta$ に関する方程式 $3\cos4\theta = 2\sin^2\theta - 3$ が与えられている。 $x = \cos2\theta$ とおいたとき、方程式を $x$ で表し、その解を求める。 そして、$0 \le \theta \le \frac{3}{2}\pi$ の範囲で元の方程式の解の個数と、そのうち最大のものを求める。

1. 問題の内容

$\theta$ に関する方程式 $3\cos4\theta = 2\sin^2\theta - 3$ が与えられている。

$x = \cos2\theta$ とおいたとき、方程式を $x$ で表し、その解を求める。

そして、$0 \le \theta \le \frac{3}{2}\pi$ の範囲で元の方程式の解の個数と、そのうち最大のものを求める。

2. 解き方の手順

まず、$3\cos4\theta = 2\sin^2\theta - 3$ を変形する。

$\cos4\theta = 2\cos^22\theta - 1$

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos2\theta}{2}$

これらを元の方程式に代入する。

$3(2\cos^22\theta - 1) = 2(\frac{1 - \cos2\theta}{2}) - 3$

$6\cos^22\theta - 3 = 1 - \cos2\theta - 3$

$6\cos^22\theta + \cos2\theta - 1 = 0$

ここで、$x = \cos2\theta$ とおくと、

$6x^2 + x - 1 = 0$

これが（ア）と（イ）を埋める部分になる。

次に、この2次方程式を解く。

$6x^2 + x - 1 = (2x + 1)(3x - 1) = 0$

よって、$x = -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$

これが（ウ）、（エ）、（オカ）、（キ）を埋める部分になる。

$-\frac{1}{2} = \frac{-1}{2}$　, $\frac{1}{3}$

次に、$0 \le \theta \le \frac{3}{2}\pi$ の範囲で、$\cos2\theta = -\frac{1}{2}$ と $\cos2\theta = \frac{1}{3}$ を満たす $\theta$ の個数を考える。

$0 \le \theta \le \frac{3}{2}\pi$ なので、$0 \le 2\theta \le 3\pi$ である。

$\cos2\theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$2\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi, \frac{8}{3}\pi$ より、$\theta = \frac{1}{3}\pi, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

$\cos2\theta = \frac{1}{3}$ のとき、$2\theta = \alpha, 2\pi - \alpha, 2\pi + \alpha$ (ただし $\alpha = \arccos(\frac{1}{3})$) となる。

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ であるため、

\theta = \frac{\alpha}{2}, \pi - \frac{\alpha}{2}, \pi + \frac{\alpha}{2

つまり、個数は6個

これらの解のうち、最大のものは $\frac{4}{3}\pi$ と $\pi + \frac{\alpha}{2}$ のどちらが大きいか考える。$\frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$ なので $\pi + \frac{\alpha}{2} < \frac{5}{4}\pi = \frac{15}{12}\pi$

$\frac{4}{3} = \frac{16}{12}$ なので$\frac{4}{3}\pi$ が最大

3. 最終的な答え

ア: 6

イ: 1

ウ: -1

エ: 2

オカ: 1

キ: 3

ク: 6

ケ: 4

コ: 3