$\sqrt{61-5a}$ が整数となるような自然数 $a$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{61-5a}$ が整数となるような自然数 $a$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{61-5a}$ が整数になるためには、$61-5a$ は0以上の平方数でなければならない。つまり、$61-5a = k^2$（$k$は0以上の整数）とおける。

$61-5a = k^2$ を $a$ について解くと、

$5a = 61 - k^2$

$a = \frac{61 - k^2}{5}$

$a$ が自然数であるためには、$61 - k^2$ が5で割り切れる正の整数でなければならない。

$k$は0以上の整数であるから、$k^2$ は $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, \dots$ となる。

したがって、$61 - k^2$ は $61, 60, 57, 52, 45, 36, 25, 12, -3, \dots$ となる。

この中で5で割り切れる正の整数は、$60, 45, 25$である。

* $61 - k^2 = 60$ のとき:

$k^2 = 1$ より $k = 1$.

$a = \frac{60}{5} = 12$

* $61 - k^2 = 45$ のとき:

$k^2 = 16$ より $k = 4$.

$a = \frac{45}{5} = 9$

* $61 - k^2 = 25$ のとき:

$k^2 = 36$ より $k = 6$.

$a = \frac{25}{5} = 5$

$61-5a$ が0以上である必要があるので、$61-5a \ge 0$ より、$5a \le 61$, $a \le \frac{61}{5}=12.2$.

したがって、$a$は12以下の自然数である必要がある。

求めた $a$ の値はすべてこの条件を満たしている。

3. 最終的な答え

$a = 5, 9, 12$