関数 $f(x) = x^2 - 2kx + \frac{1}{2}$ が与えられています。ただし、$k \geq 0$ です。 (1) 定義域が $0 \leq x \leq 1$ である2次関数 $y = f(x)$ の最小値 $m$ を $k$ を用いて表してください。 (2) $0 \leq x \leq 1$ であるすべての $x$ について $0 \leq f(x) \leq 1$ が成り立つような $k$ の値の範囲を求めてください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2kx + \frac{1}{2}$ が与えられています。ただし、$k \geq 0$ です。

(1) 定義域が $0 \leq x \leq 1$ である2次関数 $y = f(x)$ の最小値 $m$ を $k$ を用いて表してください。

(2) $0 \leq x \leq 1$ であるすべての $x$ について $0 \leq f(x) \leq 1$ が成り立つような $k$ の値の範囲を求めてください。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = (x - k)^2 - k^2 + \frac{1}{2}$

軸は $x = k$ です。

場合分けを行います。

(i) $0 \leq k \leq 1$ のとき、最小値は $f(k) = -k^2 + \frac{1}{2}$ です。

(ii) $k < 0$ のとき、最小値は $f(0) = \frac{1}{2}$ です。しかし、$k \geq 0$ なので、この場合は考慮しません。

(iii) $k > 1$ のとき、最小値は $f(1) = 1 - 2k + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - 2k$ です。

したがって、

$m = \begin{cases}

-k^2 + \frac{1}{2} & (0 \leq k \leq 1) \\

\frac{3}{2} - 2k & (k > 1)

\end{cases}$

(2)

$0 \leq x \leq 1$ において $0 \leq f(x) \leq 1$ が成り立つ条件を求めます。

まず、$0 \leq f(x)$ を考えます。

(i) $0 \leq k \leq 1$ のとき、$m = -k^2 + \frac{1}{2} \geq 0$ である必要があります。

$-k^2 + \frac{1}{2} \geq 0$

$k^2 \leq \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq k \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \leq k \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

(ii) $k > 1$ のとき、$m = \frac{3}{2} - 2k \geq 0$ である必要があります。

$\frac{3}{2} - 2k \geq 0$

$2k \leq \frac{3}{2}$

$k \leq \frac{3}{4}$

これは $k > 1$ と矛盾します。

次に、$f(x) \leq 1$ を考えます。

$f(0) = \frac{1}{2} \leq 1$

$f(1) = 1 - 2k + \frac{1}{2} \leq 1$

$\frac{3}{2} - 2k \leq 1$

$2k \geq \frac{1}{2}$

$k \geq \frac{1}{4}$

$0 \leq k \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ と $k \geq \frac{1}{4}$ を満たす $k$ の範囲は $\frac{1}{4} \leq k \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。

また、$f(0) \leq 1$ および $f(1) \leq 1$ である必要があります。

したがって、求める範囲は $\frac{1}{4} \leq k \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $m = \begin{cases}

-k^2 + \frac{1}{2} & (0 \leq k \leq 1) \\

\frac{3}{2} - 2k & (k > 1)

\end{cases}$

(2) $\frac{1}{4} \leq k \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$