$f(x) = x^2 - 2mx + m + 2$ という2次関数が与えられています。方程式 $f(x) = 0$ が1より大きい異なる2つの実数解を持つような、$m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 - 2mx + m + 2$ という2次関数が与えられています。方程式 $f(x) = 0$ が1より大きい異なる2つの実数解を持つような、$m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた条件を満たすためには、次の3つの条件がすべて成り立つ必要があります。

(1) $f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ。

(2) 2つの解がともに1より大きい。

(3) 軸の位置が1より大きい。

(1) 異なる2つの実数解を持つ条件：

判別式 $D > 0$ が必要です。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(m+2) = 4m^2 - 4m - 8 = 4(m^2 - m - 2) = 4(m-2)(m+1)$

$D > 0$ より、 $(m-2)(m+1) > 0$。

したがって、$m < -1$ または $m > 2$。

(2) 2つの解がともに1より大きい条件：

$f(1) > 0$ である必要があります。

$f(1) = 1^2 - 2m(1) + m + 2 = 1 - 2m + m + 2 = 3 - m$

$f(1) > 0$ より、$3 - m > 0$。

したがって、$m < 3$。

(3) 軸の位置が1より大きい条件：

$f(x) = x^2 - 2mx + m + 2 = (x - m)^2 - m^2 + m + 2$ より、軸は $x = m$ です。

軸が1より大きいので、$m > 1$。

上記3つの条件をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

(1) $m < -1$ または $m > 2$

(2) $m < 3$

(3) $m > 1$

$m < -1$ は $m > 1$ を満たさないので、$m < -1$ は除外されます。

したがって、$m > 2$ かつ $m < 3$ かつ $m > 1$ を満たす必要があります。

これらの条件をすべて満たす $m$ の範囲は $2 < m < 3$ です。

3. 最終的な答え

$2 < m < 3$