定義域が $-3 \le x \le a$ である関数 $y = -x^2 - 4x + 1$ の最大値および最小値を、以下の各場合について求めます。 (1) $-3 < a < -2$ (2) $-2 \le a < -1$ (3) $a = -1$ (4) $-1 < a$

1. 問題の内容

定義域が $-3 \le x \le a$ である関数 $y = -x^2 - 4x + 1$ の最大値および最小値を、以下の各場合について求めます。

(1) $-3 < a < -2$

(2) $-2 \le a < -1$

(3) $a = -1$

(4) $-1 < a$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 - 4x + 1 = -(x^2 + 4x) + 1 = -(x^2 + 4x + 4) + 4 + 1 = -(x+2)^2 + 5$

このグラフは、頂点が $(-2, 5)$ で、上に凸の放物線です。

(1) $-3 < a < -2$ のとき

定義域は $-3 \le x \le a$ です。

この範囲において、関数は単調増加です。したがって、

最大値は $x=a$ のとき $y = -a^2 - 4a + 1$

最小値は $x=-3$ のとき $y = -(-3)^2 - 4(-3) + 1 = -9 + 12 + 1 = 4$

(2) $-2 \le a < -1$ のとき

定義域は $-3 \le x \le a$ です。

頂点の $x$ 座標は $-2$ なので、定義域に頂点が含まれます。

最大値は $x=-2$ のとき $y = 5$

最小値は $x=-3$ のとき $y = 4$ または $x=a$ のとき $y = -a^2 - 4a + 1$ の小さい方です。

$a = -2$ の時、$y = -(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$

したがって、$x=-3$ のとき最小値 $4$

(3) $a = -1$ のとき

定義域は $-3 \le x \le -1$ です。

最大値は $x=-2$ のとき $y = 5$

最小値は $x=-3$ のとき $y = 4$ または $x=-1$ のとき $y = -(-1)^2 - 4(-1) + 1 = -1 + 4 + 1 = 4$

したがって、最小値は $4$

(4) $-1 < a$ のとき

定義域は $-3 \le x \le a$ です。

最大値は $x=-2$ のとき $y = 5$

最小値は $x=-3$ のとき $y = 4$ または $x=a$ のとき $y = -a^2 - 4a + 1$ の小さい方です。

3. 最終的な答え

(1) $-3 < a < -2$ のとき

最大値: $-a^2 - 4a + 1$

最小値: $4$

(2) $-2 \le a < -1$ のとき

最大値: $5$

最小値: $4$

(3) $a = -1$ のとき

最大値: $5$

最小値: $4$

(4) $-1 < a$ のとき

最大値: $5$

最小値:

$-a^2 - 4a + 1$ ($a < -2+\sqrt{2}$のとき)

$4$ ($a \ge -2+\sqrt{2}$のとき)

補足：$-a^2 - 4a + 1 = 4$を解くと、$-a^2 - 4a - 3 = 0$より、$a^2 + 4a + 3 = 0$、$(a+1)(a+3) = 0$、したがって、$a=-1$または$a=-3$

$-a^2 - 4a + 1 = 4$となるaは、定義域の範囲外のため、考慮しない。

$-a^2 - 4a + 1 > 4$となるaを考える。$-a^2 - 4a - 3 > 0$より、$a^2 + 4a + 3 < 0$、$(a+1)(a+3) < 0$、したがって、$-3 < a < -1$

$-a^2 - 4a + 1 < 4$となるaを考える。$-a^2 - 4a - 3 < 0$より、$a^2 + 4a + 3 > 0$、$(a+1)(a+3) > 0$、したがって、$a < -3$または$-1 < a$

ただし、この問題で定義域は$-3 \le x \le a$なので、$-1 < a$の場合のみを考える。

$y = -(x+2)^2 + 5$において、頂点の座標は$(-2, 5)$

最小値が$4$となるのは、$x = -3$または$x = -1$

$x = a$の時のy座標が$4$より小さい時、最小値は$y = -a^2 - 4a + 1$

$-a^2 - 4a + 1 = 4$より、$a^2 + 4a + 3 = 0$, $(a+1)(a+3) = 0$なので、$a = -1$または$a = -3$

$-a^2 - 4a + 1 = 4$となる点は、$(-3, 4), (-1, 4)$

$a \gt -1$なので、$a$が$x = -1$から増えると、y座標は減少していく。

$(-1, 4)$から$\sqrt{2}$増えた位置を考えると、$x = -1 + \sqrt{2}$, $y = 5 - (\sqrt{2} - 1)^2 = 5-(2-2\sqrt{2}+1) = 5-3+2\sqrt{2} = 2+2\sqrt{2}$

最小値が$x = -3$のときの$4$になるのは、$a$が$(-2+\sqrt{2})$を超えるとき。