(1) $a \ge 0, b \ge 0$ のとき、$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときを答える。 (2) $a > 0, b > 0$ のとき、$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \ge 2$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

(1) $a \ge 0, b \ge 0$ のとき、$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときを答える。

(2) $a > 0, b > 0$ のとき、$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \ge 2$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ を示す。

両辺の2乗を考える。

$(\frac{a+b}{2})^2 - (\sqrt{ab})^2 = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} - ab = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \frac{(a-b)^2}{4} \ge 0$

よって、$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$a=b$ のとき。

(2) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \ge 2$ を示す。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2 = \frac{b^2 + a^2 - 2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$ ($a > 0, b > 0$より、$ab > 0$)

よって、$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \ge 2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ が成り立つ。等号が成り立つのは、$a=b$ のとき。

(2) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \ge 2$ が成り立つ。