数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = 2a_n - 3^n$ が成り立っている。 (1) $a_1$ を求めよ。 (2) $a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表せ。 (3) $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = 2a_n - 3^n$ が成り立っている。

(1) $a_1$ を求めよ。

(2) $a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表せ。

(3) $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $S_1 = a_1$ であるから、$n=1$ のとき、与えられた式に代入して、

$S_1 = 2a_1 - 3^1$

$a_1 = 2a_1 - 3$

$a_1 = 3$

(2) $S_{n+1} = 2a_{n+1} - 3^{n+1}$ と $S_n = 2a_n - 3^n$ の差を考える。

$n \geq 1$ に対して、$S_{n+1} - S_n = a_{n+1}$ であるから、

$a_{n+1} = (2a_{n+1} - 3^{n+1}) - (2a_n - 3^n)$

$a_{n+1} = 2a_{n+1} - 3^{n+1} - 2a_n + 3^n$

$0 = a_{n+1} - 2a_n - 3^{n+1} + 3^n$

$a_{n+1} = 2a_n + 3^{n+1} - 3^n$

$a_{n+1} = 2a_n + 3^n (3 - 1)$

$a_{n+1} = 2a_n + 2 \cdot 3^n$

(3) $a_{n+1} = 2a_n + 2 \cdot 3^n$ を変形する。両辺を $3^{n+1}$ で割ると

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2a_n}{3^{n+1}} + \frac{2 \cdot 3^n}{3^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \frac{a_n}{3^n} + \frac{2}{3}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、

$b_{n+1} = \frac{2}{3} b_n + \frac{2}{3}$

$b_{n+1} - 2 = \frac{2}{3} (b_n - 2)$

したがって、$b_n - 2$ は初項 $b_1 - 2 = \frac{a_1}{3} - 2 = \frac{3}{3} - 2 = 1 - 2 = -1$、公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列であるから、

$b_n - 2 = (-1) \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$

$b_n = 2 - \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$

$\frac{a_n}{3^n} = 2 - \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$

$a_n = 2 \cdot 3^n - 3 \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} \cdot 3 = 2 \cdot 3^n - 2^{n-1} \cdot 3$

$a_n = 2 \cdot 3^n - 3^n (\frac{2}{3})^{n-1}$

$a_n = 2 \cdot 3^n - 3 (\frac{2}{3})^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 3$

(2) $a_{n+1} = 2a_n + 2 \cdot 3^n$

(3) $a_n = 2 \cdot 3^n - 3 \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$

別の書き方：$a_n = 2 \cdot 3^n - 3^n (2/3)^{n-1} = 2 \cdot 3^n - 3 (2^{n-1})$

誤記修正：$a_n = 2 \cdot 3^n - 3\cdot 2^{n-1}$

最終的な答え：

$a_n = 2 \cdot 3^n - 3 \cdot 2^{n-1}$