(1) $a > 1$, $b > 1$ のとき、$ab + 1 > a + b$ が成り立つことを示す。 (2) $a$ が実数であるとき、$a^2 + 1 \ge 2a$ であることを示し、等号が成り立つときを答える。

1. 問題の内容

(1) $a > 1$, $b > 1$ のとき、$ab + 1 > a + b$ が成り立つことを示す。

(2) $a$ が実数であるとき、$a^2 + 1 \ge 2a$ であることを示し、等号が成り立つときを答える。

2. 解き方の手順

(1) $ab + 1 > a + b$ を示すために、左辺から右辺を引いたものが正であることを示す。

$ab + 1 - (a + b) = ab - a - b + 1 = a(b - 1) - (b - 1) = (a - 1)(b - 1)$

$a > 1$ より $a - 1 > 0$, $b > 1$ より $b - 1 > 0$ であるから、$(a - 1)(b - 1) > 0$ となる。

したがって、$ab + 1 - (a + b) > 0$ より、$ab + 1 > a + b$ が成り立つ。

(2) $a^2 + 1 \ge 2a$ を示すために、$a^2 + 1 - 2a$ が0以上であることを示す。

$a^2 + 1 - 2a = (a - 1)^2$

実数 $a$ に対して $(a - 1)^2 \ge 0$ であるから、$a^2 + 1 - 2a \ge 0$ より、$a^2 + 1 \ge 2a$ が成り立つ。

等号が成り立つのは $(a - 1)^2 = 0$ のとき、つまり $a = 1$ のときである。

3. 最終的な答え

(1) $a > 1$, $b > 1$ のとき、$ab + 1 > a + b$ は成り立つ。

(2) $a$ が実数のとき、$a^2 + 1 \ge 2a$ は成り立つ。等号が成り立つのは $a = 1$ のときである。