## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

この問題は2つのパートに分かれています。

(1) $a + b + c = 0$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立つことを示してください。

(2) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ のとき、$(ax + by)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ が成り立つことを示してください。

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2. 解き方の手順

### (1) $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ の証明

$a+b+c=0$ より、$c = -a-b$ を得ます。

これを $a^3 + b^3 + c^3$ に代入すると、

$a^3 + b^3 + (-a-b)^3 = a^3 + b^3 - (a+b)^3$

$= a^3 + b^3 - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)$

$= a^3 + b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3$

$= -3a^2b - 3ab^2$

$= -3ab(a+b)$

ここで、$a+b+c=0$ より $a+b = -c$ なので、

$-3ab(a+b) = -3ab(-c)$

$= 3abc$

したがって、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立ちます。

### (2) $(ax + by)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ の証明

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ より、$bx = ay$ となります。

したがって、$y = \frac{bx}{a}$ と表せます。

$(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ に $y = \frac{bx}{a}$ を代入します。

$(a^2+b^2)(x^2+(\frac{bx}{a})^2) = (a^2+b^2)(x^2 + \frac{b^2x^2}{a^2})$

$= (a^2+b^2)(\frac{a^2x^2 + b^2x^2}{a^2})$

$= (a^2+b^2)(\frac{(a^2 + b^2)x^2}{a^2})$

$= \frac{(a^2+b^2)^2 x^2}{a^2}$

次に、$(ax+by)^2$ に $y = \frac{bx}{a}$ を代入します。

$(ax+b(\frac{bx}{a}))^2 = (ax+\frac{b^2x}{a})^2$

$= (\frac{a^2x+b^2x}{a})^2$

$= (\frac{(a^2+b^2)x}{a})^2$

$= \frac{(a^2+b^2)^2 x^2}{a^2}$

したがって、$(ax + by)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ が成り立ちます。

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3. 最終的な答え

(1) $a + b + c = 0$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

(2) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ のとき、$(ax + by)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$