(1) $a+b+c=0$ のとき、$a^3+b^3+c^3=3abc$ が成り立つことを示す問題です。 (2) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ のとき、$(ax+by)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ が成り立つことを示す問題です。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いて説明します。

1. 問題の内容

(1) $a+b+c=0$ のとき、$a^3+b^3+c^3=3abc$ が成り立つことを示す問題です。

(2) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ のとき、$(ax+by)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

(1)

$a+b+c=0$ より、$c = -(a+b)$。これを $a^3+b^3+c^3$ に代入します。

\begin{align*}

a^3 + b^3 + c^3 &= a^3 + b^3 + (-a-b)^3 \\

&= a^3 + b^3 - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) \\

&= a^3 + b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3 \\

&= -3a^2b - 3ab^2 \\

&= -3ab(a+b)

\end{align*}

ここで、$a+b = -c$ より、

\begin{align*}

-3ab(a+b) = -3ab(-c) = 3abc

\end{align*}

よって、$a^3+b^3+c^3 = 3abc$ が成り立ちます。

(2)

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ より、$bx = ay$。

左辺 $(ax+by)^2$ を展開します。

\begin{align*}

(ax+by)^2 = (ax)^2 + 2(ax)(by) + (by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2

\end{align*}

右辺 $(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ を展開します。

\begin{align*}

(a^2+b^2)(x^2+y^2) = a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2

\end{align*}

ここで、$bx = ay$ より、$b^2x^2 = a^2y^2$ であるから、

\begin{align*}

(a^2+b^2)(x^2+y^2) = a^2x^2 + b^2x^2 + b^2x^2 + b^2y^2

\end{align*}

$2abxy = 2ab(\frac{ay}{b}) = 2 a^2y^2$

$bx = ay$ より、$x = \frac{ay}{b}$ を左辺に代入すると、

\begin{align*}

a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2 = a^2(\frac{ay}{b})^2 + 2ab(\frac{ay}{b})y + b^2y^2 = \frac{a^4 y^2}{b^2} + \frac{2a^2y^2}{b} + b^2y^2

\end{align*}

別解：

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b}=k$ とおくと、$x=ak$, $y=bk$. これらを$(ax+by)^2$に代入すると

\begin{align*}

(ax+by)^2 &= (a(ak)+b(bk))^2 \\

&= (a^2k+b^2k)^2 \\

&= k^2(a^2+b^2)^2

\end{align*}

また、$(a^2+b^2)(x^2+y^2)$に代入すると

\begin{align*}

(a^2+b^2)(x^2+y^2) &= (a^2+b^2)((ak)^2 + (bk)^2) \\

&= (a^2+b^2)(a^2k^2+b^2k^2) \\

&= (a^2+b^2)k^2(a^2+b^2) \\

&= k^2(a^2+b^2)^2

\end{align*}

よって、$(ax+by)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)$が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a^3+b^3+c^3=3abc$ が成り立つ。

(2) $(ax+by)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ が成り立つ。